지연시각의 그래디언트(기울기)
개요
$$ \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH $$
증명
$\acR = c(t -t_{r})$이고 $t$는 공간 변수와는 무관하므로
$$ \nabla \cR =\nabla(-c t_{r})=-c \nabla t_{r} $$
따라서 지연시각의 기울기는 $\nabla \cR$를 계산해서 구할 수 있다.
$$ \begin{align} \nabla \cR &= \nabla \sqrt{\bcR \cdot \bcR} \nonumber \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\bcR\cdot \bcR}} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \Big[ \bcR \times (\nabla \times \bcR ) + \bcR \times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla)\bcR +(\bcR \cdot \nabla)\bcR\Big] \nonumber \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[\bcR\times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla) \bcR \Big] \end{align} $$
네 번째 등호는 곱셈규칙 (b)에 의해 성립한다. 이제 남은 계산을 하나씩 해보면
- Part 1. $(\bcR \cdot \nabla)\bcR$
$$ \begin{align*} (\bcR \cdot \nabla ) \bcR &= (\bcR \cdot \nabla ) \mathbf{r} - ( \bcR \cdot \nabla) \mathbf{w} \\ &= \bcR - \mathbf{v} ( \bcR \cdot \nabla t_{r}) \end{align*} $$
두 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{A}$1, $(\abcR \cdot \nabla)\mathbf{A}=\dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t_{r}}(\abcR \cdot \nabla t_{r})$2이므로 $(\bcR \cdot \nabla )\mathbf{r}=\bcR$, $( \bcR \cdot \nabla ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})$이기 때문에 성립한다.
- Part 2. $\nabla \times \bcR$
$$ \begin{align*} \nabla \times \bcR &= \nabla \times \mathbf{r} -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -(- \mathbf{v} \times \nabla t_{r} ) \\ &= \mathbf{v} \times \nabla t_{r} \end{align*} $$
두 번째 등호는 $\nabla \times \mathbf{r}=0$이므로 성립한다. $\mathbf{r}$의 각 성분은 다른 성분에는 독립적이므로 당연한 결과이다. 무슨 말인지 모르겠다면 $\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$라고 두고 직접 계산해보라. 세 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \times \nabla t_{r}$3이므로 $\nabla \times \mathbf{w}=-\mathbf{v}\times\nabla t_{r}$이므로 성립한다.
- Part 3. 결론
따라서 위 두 결과를 $(1)$에 대입하면
$$ \begin{align*} \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \bcR \times (\mathbf{v} \times \nabla t_{r}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})-\nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\Big] \end{align*} $$
두 번째 등호는 BAC-CAB 공식에 의해 성립한다. 정리하면
$$ \begin{align*} && -c \nabla t_{r} = \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\big] \\ \implies && \bcR - \nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) &= -\cR \nabla t_{r} \\ \implies && \nabla t_{r} &= \frac{-\bcR}{\cR c - (\bcR \cdot \mathbf{v})} \end{align*} $$
이는 전하가 움직이지 않을 때도 성립하는 일반적인 결과이다. $t_{r}=t-\frac{\cR}{c}$이므로
$$ \nabla t_{r} = -\nabla \frac{\cR}{c}=-\frac{1}{c} \nabla \cR $$
이때 $\nabla \acR = \acrH$이므로
$$ \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH $$
위의 결과에서 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$을 대입하면 같다.
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