📂양자역학

장벽 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

개요

퍼텐셜이 위 그림과 같이 벽 모양일 때 입자가 어떻게 운동하는지 알아보자. 퍼텐셜 $U$는

$$U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_{0} & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases}$$

퍼텐셜이 $U(x)$일 때의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$\dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0$$

풀이¹

$E<0$

에너지가 퍼텐셜보다 작으면 해가 존재하지 않으므로 고려할 필요 없다.

■

$0 < E < U_{0}$

Part 2-1. $x<-a$ 이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

$\frac{2m}{\hbar^2}E$가 양수이므로 $k^2$으로 치환하면

$$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

방정식을 풀면 그 해는

$$u_{1}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$

이때 $A_{+}$, $A_{-}$는 상수이다.

• Part 2-2. $-a<x<a$

  이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  $E-U_{0}<0$이므로 $\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=-\kappa ^2$으로 치환하면

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2 u=0$$

  이때 $\kappa$는 그리스어 ‘카파’이다. $k$(케이)와는 다른 문자이다. 방정식을 풀면

  $$u_{2}(x) = B_{+}e^{\kappa x}+B_{-}e^{-\kappa x}$$

  이때 $B_{+}$, $B_{-}$는 상수이다.

• Part 2-3. $a<x$

  이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

  Part 2-1. 에서 $\frac{2m}{\hbar^2}E=k^2$로 치환했으므로

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

  위의 미분 방정식을 풀면

  $$u_{3}(x)=C_{+}e^{ikx} + C_{-}e^{-ikx}$$

  이때 해당 영역에서는 반사파가 없으므로 $C_{-}=0$이다.

• Part 2-4. 경계조건

  파동함수는 매끄럽게 생겼다고 가정하므로 $x=-a$, $x=a$에서 연속이고 파동함수의 미분(기울기)도 $x=-a$, $x=a$에서 연속이다. 따라서

  $$\begin{cases}u_{1}(-a)=u_{2}(-a) \\ u_{2}(a)=u_{3}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} A_{+}e^{-ika}+A_{-}e^{ika} = B_{+}e^{-\kappa a}+B_{-}e^{\kappa a} \quad \cdots (1) \\ B_{+}e^{\kappa a}+B_{-}e^{-\kappa a} = C_{+}e^{ika}+0 \cdot e^{-ika} \ \quad \cdots (2) \end{cases}$$

  $$\begin{cases}u_{1}^{\prime}(-a)=u_{2}^{\prime}(-a) \\ u_{2}^{\prime}(a)=u_{3}^{\prime}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} ikA_{+}e^{-ika}-ikA_{-}e^{ika} = \kappa B_{+}e^{-\kappa a}-\kappa B_{-}e^{\kappa a} \quad \cdots (3) \\ \kappa B_{+}e^{\kappa a}-\kappa B_{-}e^{-\kappa a} = ik C_{+}e^{ika}+0 \cdot ik e^{-ika} \quad \cdots (4) \end{cases}$$

  $(1)$, $(3)$을 행렬로 나타내면

  $$\begin{pmatrix} e^{-ika} & e^{ika} \\ ike^{-ika} & -ike^{ika} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix}\quad \cdots (5)$$

  $(2)$, $(4)$를 행렬로 나타내면

  $$\begin{pmatrix} e^{\kappa a} & e^{-\kappa a} \\ \kappa e^{\kappa a} & -\kappa e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (6)$$

  우리는 퍼텐셜 장벽에 의해 반사된 파동과 장벽을 투과한 파동에 대해서 관심이 있으므로 $A_{+}$, $A_{-}$, $C_{+}$를 구해야한다.

  $\begin{pmatrix} B_{+}\\ B_{-}\end{pmatrix}$를 소거해서 $(5)$, $(6)$을 합쳐주려고 한다. $(5)$의 제일 왼쪽 행렬을 $\mathbb{A}$, $(6)$의 제일 왼쪽 행렬을 $\mathbb{B}$라고 하자. 그러면 두 식은 간단하게 아래와 같이 표현된다.

  $$\begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{A}^{-1} \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} \quad \cdots (7)$$

  $$\begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{B}^{-1} \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (8)$$

  이제 $(8)$을 $(7)$에 대입하면

  $$\begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{A}^{-1} \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \mathbb{B}^{-1} \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix} \quad \cdots (9)$$

  이제 $\mathbb{A}^{-1}$, $\mathbb{B}^{-1}$를 구하고 행렬의 곱을 계산해주면 각 계수를 구할 수 있다. 계산 과정은 부록Q-1을 참고하자. 열심히 계산하면 아래의 결과를 얻는다.

  $$\dfrac{A_{-}}{A_{+}} = \frac{-i \xi \sinh (2\kappa a)e^{-i2ka} } {\cosh (2\kappa a) + i\eta \sinh (2\kappa a)}$$

  $$\dfrac{C_{+}}{A_{+}}=\frac{e^{-i2ka} }{\cosh (2\kappa a) +i \eta \sinh (2\kappa a)}$$

  이때 $\frac{\kappa}{k} -\frac{k}{\kappa}=2\eta$, $\frac{\kappa}{k} + \frac{k}{\kappa}=2\xi$이다.

• Part 2-5. 반사율과 투과율

  입사파, 반사파, 투과파는 각각

  $$u_{inc}=A_{+}e^{ikx},\quad u_{ref}=A_{-}e^{-ikx},\quad u_{trans}=C_{+}e^{ikx}$$

  반사율과 투과율을 계산하기 위해 입사파, 반사파, 투과파의 확률 흐름을 구해보면

  $$j_{inc}=\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2,\quad j_{ref}=\frac{\hbar k}{m}|A_{-}|^2,\quad j_{trnas}=\frac{\hbar k}{m}|C_{+}|^2$$

  따라서 반사율, 투과율은

  $$R=\left| \frac{j_{ref}}{j_{inc}}\right|=\left| \frac{A_{-}} {A_{+}} \right|^2= \frac{ \xi^2 \sinh ^2 (2\kappa a) } {\cosh^2 (2\kappa a) + \eta^2 \sinh ^2 (2\kappa a) }$$

  $$T=\left| \frac{ j_{trnas} }{j_{inc}}\right|=\left| \frac{ C_{+} }{A_{+}} \right|^2=\frac{1}{\cosh^2 (2\kappa a) + \eta^2 \sinh^2 (2\kappa a)}$$

$U_{0} < E$

그림을 살펴보면 Part 2-2. 부분을 제외한 나머지 결과는 2. $0 < E < U_{0}$ 와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 위에서 얻은 결과를 이용하면

• Part 3-1. $x<-a$

  $$u_{1}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$

• Part 3-2. $-a< x< a$

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  이때 $E-U_{0} >0$이므로 $\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=\kappa ^2$으로 치환하면$

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\kappa^2 u=0$$

  이를 풀면

  $$u_{2}(x)=B_{+}e^{i\kappa x} + B_{-}e^{-i\kappa x}$$

• Part 3-3. $a<x$

  $$u_{3}(x)=C_{+}e^{ikx} + C_{-}e^{-ikx}$$

• Part 3-4. 경계조건

  2와 비교했을 때 차이는 $u_2(x)$에서 $\kappa$가 $i\kappa$로 바뀐 것 밖에 없으므로 2 결과에서 $\kappa$를 $i\kappa$로 바꾸면 된다.

  $$\sinh (2\kappa a) \implies \sinh(i2\kappa a)=\frac{e^{i2\kappa a}-e^{-i2\kappa a}}{2}=i\sin (2\kappa a)$$

  $$\cosh (2\kappa a) \implies \cosh(i2\kappa a)=\frac{e^{i2\kappa a}+e^{-i2\kappa a}}{2}=\cos (2\kappa a)$$

  $$\xi=\frac{1}{2}\left( \frac{\kappa}{k} +\frac{k}{\kappa} \right) \implies \frac{1}{2}\left( \frac{i\kappa}{k} +\frac{k}{i\kappa} \right)=\frac{i}{2}\left( \frac{\kappa}{k} -\frac{k}{\kappa} \right)=i\eta$$

  $$\eta \frac{1}{2}\left( \frac{\kappa}{k} - \frac{k}{\kappa} \right) \implies \frac{i}{2}\left( \frac{\kappa}{k} + \frac{k}{\kappa} \right)=i\xi$$

  따라서

  $$\begin{align*} \dfrac{A_{-}}{A_{+}} &= \frac{-i (i \eta) i\sin (2\kappa a)e^{-i2ka} } {\cos (2\kappa a) + i(i\xi) i \sin (2\kappa a)} \\ &= \frac{i \eta \sin (2\kappa a)e^{-i2ka} } {\cos (2\kappa a) -i \xi \sin (2\kappa a)} \end{align*}$$

  $$\begin{align*} \dfrac{C_{+}}{A_{+}} &= \frac{ e^{-i2ka} } {\cos (2\kappa a) + i(i\xi) i \sin (2\kappa a)} \\ &= \frac{ e^{-i2ka} } {\cos (2\kappa a) - i\xi \sin (2\kappa a)} \end{align*}$$

• Part 3-5. 반사율과 투과율

  반사율, 투과율은

  $$R=\left| \frac{j_{ref}}{j_{inc}}\right|=\left| \frac{A_{-}} {A_{+}} \right|^2= \frac{ \eta ^2 \sin ^2 (2\kappa a) } {\cos^2 (2\kappa a) + \xi^2 \sin ^2 (2\kappa a) }$$

  $$T=\left| \frac{ j_{trnas} }{j_{inc}}\right|=\left| \frac{ C_{+} }{A_{+}} \right|^2=\frac{1}{\cos^2 (2\kappa a) + \xi^2 \sin^2 (2\kappa a)}$$

  반사율의 분모에 사인함수가 있기 때문에 반주기마다 반사율은 $0$이 된다. 다시 말해 $2\kappa a=n\pi$가 만족될 때 마다 $R=0$, $T=1$이 되어 반사는 일어나지 않고 오로지 투과만 일어난다. $\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=\kappa ^2$로 치환했었으므로 반사가 일어나지 않는 에너지를 구해보면

  $$2 \sqrt{ \frac{2m}{\hbar ^2}(E-u_{0})} a=n\pi$$

  $$\implies \frac{8m}{\hbar ^2} (E-U_{0}) a^2 =n^2\pi^2$$

  $$\implies E=\frac{n^2 \pi^2 \hbar ^2}{8ma^{2}_{}}+U_{0}$$