📂바나흐공간

자연스러운 임베딩과 반사적인 공간

정의¹

$\left( X, \left\| \cdot \right\|_{X} \right)$를 놈 공간이라고 하자. 그리고 $X^{\ast \ast}=(X^{\ast})^{\ast}$를 $X$의 바이듀얼이라고 하자. 함수 $J : X \to X^{\ast \ast}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ J(x)=J_{x},\quad x\in X $$

이때 $J_{x} \in X^{\ast \ast}$는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$$ J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} \quad \text{and} \quad J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x) $$

이때 $J$는 임베딩이 된다. 이러한 $J$를 자연스러운 임베딩^{natural imbedding} 혹은 자연스러운 인젝션^{natural injection}이라 한다.

설명

놈 공간 $X$가 주어지면 자연스럽게 $X^{\ast \ast}$가 주어지고 $X$에서 $X^{\ast \ast}$로의 임베딩이 존재한다. 이런 이유로 $J$를 자연스러운 임베딩이라 한다.

증명

$J_{x}$는 $X^{\ast \ast}$의 원소이므로 $X^{\ast}$의 선형 범함수이다. 다시 말해

$$ J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} $$

$X^{\ast}$의 선형 범함수 $J_{x}$를 아래와 같이 정의하자.

$$ J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x),\quad x^{\ast} \in X^{\ast} $$

"사상 $J$에 의해 $x$로부터 대응되는 $J_{x}$"는 $x^{\ast}$를 $x^{\ast}(x)$로 대응시킨다. $J_{x}$가 선형인 것은 쉽게 보일 수 있다.

$$ \begin{align*} J_{x}(x^{\ast} + \alpha y^{\ast}) &= (x^{\ast} + \alpha y^{\ast})(x) \\ &= x^{\ast}(x) + \alpha y^{\ast}(x) \\ &= J_{x}(x^{\ast}) + \alpha J_{x}(y^{\ast}) \end{align*} $$

그리고 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} |J_{x}(x^{\ast}) | =&\ | x^{\ast}(x)| \\ =&\ \left| \|x\|_{X} \frac{1}{\|x\|_{X}} x^{\ast}(x) \right| \\ =&\ \|x\|_{X} \left| x^{\ast}\left( \frac{x}{\|x\|_{X}} \right) \right| \\ \le & \| x \|_{X} \| x^{\ast} \|_{X^{\ast}} \end{align*} $$

세 번째 줄에서 $\|x\|_{X}$는 상수이므로 절댓값 밖으로 나올 수 있고, $x^{\ast}$가 선형이므로 $\frac{1}{\|x\|}_{X}$가 함수 안으로 들어갔다. 또한 네 번째 줄은 $\left\| \frac{x}{\|x\|_{X}} \right\|_{X} = \frac{1}{\left\| x \right\|_{X}} \left\| x \right\|_{X} = 1$이고 듀얼의 놈의 정의가 다음과 같으므로 성립한다.

$$ \| x^{\ast} \|_{X^{\ast}} = \sup \limits_{\substack{ \| x \|_{X} = 1 \\ x\in X}} |x^{\ast}(x)| $$

이므로 성립한다. 위의 결과로 $J_{x}$의 놈을 구해보면

$$ \begin{align*} \| J_{x}||_{X^{\ast \ast}} =&\ \sup \limits_{\substack{ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} | J_{x}(x^{\ast})| \\ \le & \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} \|x\|_{X} \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} \end{align*} $$

따라서

$$ \begin{equation} \|J_{x} \|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X} \end{equation} $$

한-바나흐 확장 정리

$(X, \left\| \cdot \right\|_{X})$를 놈 공간이라고 하자. $Y \subset X$라고 하자. 그리고 $Y$의 선형 범함수 $y^{\ast} \in Y^{\ast}$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} \in X^{\ast}$가 존재한다.

$$ x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y \\[1em] \| x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} $$

이제 $X_{1} = \left\{ x \in X : \left\| x \right\|_{X}=1 \right\}$이라고 하자. 그러면 $X_{1} \subset X$이고, 한-바나흐 확장 정리에 의해 $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \in (X_{1})^{\ast}$에 대해 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $w^{\ast} \in X^{\ast}$가 존재한다.

$$ w^{\ast}(x_{1}) = \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1,\quad \forall x_{1} \in X_{1} \\[1em] \|w^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \left\| \left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \right\|_{(X_{1})^{\ast}} = \sup\limits_{\substack{x \in X_{1}}} \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1 $$

따라서 임의의 $x \in X$에 대해서,

$$ w^{\ast}\left( x \right) = w^{\ast}\left(\left\| x \right\|_{X} \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}}\right) = \left\| x \right\|_{X} w^{\ast} \left( \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}} \right) = \left\| x \right\|_{X} $$

위의 결과들을 종합하면 아래의 식이 성립한다.

$$ \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} = \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\| = 1 \\ x^{\ast}\in X^{\ast}}} |J_{x}(x^{\ast})| \ge |J_{x}(w^{\ast})|=|w^{\ast}(x)|=\|x\|_{X}, \quad x \in X $$

따라서 $(1)$의 결과와 같이 적으면

$$ \|x\|_{X} \le \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X} $$

따라서 $\|x\|_{X} = \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}}$이다. 즉, $J$는 등거리 사상이다. 등거리 사상은 임베딩이므로 $J$는 $X$에서 $X^{\ast \ast}$로의 임베딩이 된다.

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정의

내츄럴 임베딩 $J$에 대해서 $J(X)=X^{\ast \ast}$일 때, 즉 $J$가 전단사이면 놈 공간 $X$를 반사적^reflexive이라 한다.

설명

임베딩에 대한 내용을 쉽게 다시 적어보면 아래와 같다.

$X$를 놈 공간이라고 하자. 이때 $x\in X$, $x^{\ast \ast} \in X^{\ast \ast}$에 대해서 아래의 조건을 만족하면 $X$를 반사적이라 한다.

$$ \| x \|_{X} = \| x^{\ast \ast} \|_{X^{\ast \ast}} $$

$X$와 $X$의 바이듀얼에 대해서 임베딩이 존재한다는 것은 $X \cong J(X) \subset X^{\ast \ast}$이라는 말이다. 즉 $X$에 듀얼을 취할수록 $X$보다 점점 큰 공간이 된다는 뜻이다. 그런데 $X$가 반사적인 공간이라면 듀얼을 취해도 커지지 않고 그 크기가 유지된다. 다시 말해 $X^{\ast \ast}$는 $X$와 겉으로 달라 보이더라도 사실상 구조가 같은 집합이다. 또한 반사적인 공간은 항상 완비이다. 즉, 반사적인 놈 공간은 바나흐 공간이다.