대학교 수학에서 새롭게 정의되는 함수의 연속
정의
공집합이 아닌 $E \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $f : E \to \mathbb{R}$ 이라고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해
$$ | x - a | < \delta \implies | f(x) - f(a) | < \varepsilon $$
을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재하면 $f$ 가 $a \in E$ 에서 연속continuous이라 하고, $E$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 를 연속함수continuous function라 한다.
설명
고등학교에서 연속을 정의할 때
- 함수값 $f(a)$ 가 존재한다.
- 극한 $\lim \limits_{x \to a}$ 가 존재한다.
- $f(a) = \lim \limits_{x \to a}$ 가 성립한다.
위의 세 조건이 성립할 때 $f$가 $x = a$ 에서 연속이라고 했다. 입실론-델타 논법을 받아들였다면 위의 정의는 사실 고등학교 수준과 달라질 것이 없음을 알 수 있을 것이다
$| x - a | < \delta$ 일 때마다 $| f(x) - f(a) | < \varepsilon$ 이라는 것은 $x$ 가 $a$ 근방에서 아주 살짝 움직인다면 $f(x)$ 도 $f(a)$ 에서 아주 살짝 움직인다는 뜻이 될 것이다. 그 말은 곧 $x$ 를 바꿔가면서 $f$ 에 넣어봐도 ‘급격하게’, 즉 불연속적으로 함숫값이 변하지 않는다는 말이다. 다시 말해 연속이란 그래프로 생각해보자면 ‘끊어지지 않는’ 것을 말한다.
고등학생 중에는 이렇게 직관적으로만 받아들여서 ‘끊어지지 않는’ 함수를 연속함수로 받아들인 경우가 제법 있다. 그렇지 않은 예로써 $f(x) := {{ 1 } \over { x }}$ 는 $x=0$ 에서 끊어져있지만 정의역 $\mathbb{R}^{ \ast } = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ 의 모든 점에서 연속이므로 연속함수가 맞다. 보통은 몰라도 사는 데에 지장이 없기 때문에 나름 고학년이 되어서도 모르는 사람이 있는데, 몰랐다면 이번 기회에 확실히 개념을 잡아두자.
정리
$f$ 가 $a \in E$ 에서 연속이라는 것은 다음과 동치다.
$$ \lim \limits_{n \to \infty} x_{n} = a \implies \lim \limits_{n \to \infty} f( x_{n} ) = f(a) $$
위의 정리는 함수의 연속성에 의해 $\lim \limits_{n \to \infty}$ 가 $f$ 의 안팎으로 넘나들 수 있다는 점을 보장한다. 수학 외의 많은 분야에서는 연속성을 제대로 체크하지 않고 당연하다는 듯이 쓰이는 경우가 많은데, 이 역시 수학자의 입장에선 엄밀하게는 따지고 들어야하는 부분이다.