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Lp 공간의 선형 범함수 📂르벡공간

Lp 공간의 선형 범함수

정의1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}열린 집합이라고 하자. 1p1 \le p \le \infty이고 p=pp1p^{\prime}=\frac{p}{p-1}이라고 하자. 각각의 vLp(Ω)v \in L^{p^{\prime}}(\Omega)에 대해서 Lp(Ω)L^p(\Omega)공간상의 선형 범함수 Lv : Lp(Ω)CL_{v}\ :\ L^p(\Omega) \rightarrow \mathbb{C}를 아래와 같이 정의한다.

Lv(u)=Ωu(x)v(x)dx,uLp(Ω) L_{v}(u) = \int_{\Omega} u(x)v(x)dx, \quad u\in L^p(\Omega)

정리

LpL^p공간상의 놈을 p\| \cdot \|_{p}로 표기하자. 그러면 횔더 부등식에 의해 아래의 부등식이 성립한다.

Lv(u)upvp \left\| L_{v}(u) \right\| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}

그러면 LvL_{v}놈은 아래와 같은 부등식을 만족한다.

Lv;(Lp):=sup{Lv(u) : u1}vp \left\|L_{v}; (L^p)^{\ast} \right\| :=\sup \left\{ |L_{v}(u)| \ :\ \left\| u \right\|\le1 \right\} \le \left\| v \right\|_{p^{\prime}}

이때 (Lp)(L^p)^{\ast}LpL^p듀얼이고. 실제로는 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

증명

  • Case 1. 1<p1<p\le \infty

    u(x)u(x)를 다음과 같다고 하자.

    u(x)={v(x)p2v(x)if v(x)00otherwise u(x) =\begin{cases} |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} & \mathrm{if}\ v(x)\ne 0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}

    그러면 u(x)Lpu(x)\in L^p임을 다음과 같이 보일 수 있다.

    up= (updx)1p= (v(x)p2v(x)pdx)1p= (v(x)(p1)pdx)1p= (v(x)pdx)1p= (vpp)1p= vppp< \begin{align*} |u |_{p} =&\ \left( \int |u|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int \left| |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{(p^{\prime}-1)p} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} < \infty \end{align*}

    1p+1p=1\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1이므로 잘 정리하면 ppp=ppp^{\prime}-p=p^{\prime}을 얻을 수 있다. 이를 사용하면 네번째 등식이 성립한다. 또한 vLpv\in L^{p^{\prime}}이기 때문에 마지막 부등식이 성립한다. uLpu \in L^p이므로 LvL_{v}에 대입하면

    Lv(u)= u(x)v(x)dx= v(x)p2v(x)v(x)dx= v(x)pdx= vpp= vp vpp1= vp vppp= vp up \begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x) dx \\ =&\ \int | v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)}v(x) dx \\ =&\ \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}-1} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| u \right\|_{p} \end{align*}

    1p+1p=1\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1이므로 잘 정리하면 pp=p1\frac{p^{\prime}}{p}=p^{\prime}-1를 얻을 수 있다. 이를 사용하면 여섯번째 등식이 성립한다. 또한 마지막 등식은 위에서 얻은 결과인 up=vppp\left\| u \right\|_{p}=\left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}}를 사용하면 성립한다. 따라서

    Lv(u)=upvp,Lv;(Lp)=vp | L_{v}(u)| = \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}, \quad | L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\left\| v \right\|_{p^{\prime}}

  • Case 2. p=1p=1

    p=1p=1이면 p=p^{\prime}=\infty이다. 우선 vp=v=0\left\| v \right\|_{p^{\prime}}=\left\| v \right\|_{\infty}=0인 경우에는 u(x)=0u(x)=0라고 하자. 그러면 등식이 성립한다. 그렇지 않으면 0<ϵ<v0 < \epsilon < \left\| v \right\|_{\infty}이라고 하자. 또한 AA0<μ(A)<0< \mu (A) < \infty가 성립하는 Ω\Omega의 가측인 부분집합이라 하고, AA 위에서 v(x)vϵ|v(x)| \ge \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon이 성립한다고 하자. 이제 u(x)u(x)를 아래와 같다고 하자.

    u(x)={v(x)/v(x)on A0otherwise u(x)= \begin{cases} \overline{v(x)}/|v(x)| & \mathrm{on}\ A \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} 그러면 uLp=L1u\in L^p=L^1임을 확인할 수 있다.

    u1= Av(x)/v(x)dx= Adx=μ(A)< \begin{align*} \left\| u \right\|_{1} =&\ \int_{A} \left| \overline{v(x)}/|v(x)| \right| dx \\ =&\ \int_{A}dx= \mu (A) < \infty \end{align*}

    uL1u \in L^1이므로 LvL_{v}에 대입하면

    Lv(u)= u(x)v(x)dx= vdx(vϵ)dx= (vϵ)dx= (vϵ)μ(A)= u1 (vϵ) \begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x)dx \\ =&\ \int |v| dx \\ \ge& \int (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon )dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)\int dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon) \mu (A) \\ =&\ \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon ) \end{align*}

    이때 Lv;(Lp)=sup{Lv(u) : u11}| L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\sup \left\{ |L_{v}(u) |\ :\ \left\| u \right\|_{1} \le 1\right\}이므로 위에서 얻은 Lv(u)u1 (vϵ)|L_{v}(u)| \ge \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)의 양변에 supu1\sup\limits_{\left\| u \right\|\le 1}을 취하면

    Lv; (Lp)u1 (vϵ)vϵ | L_{v};\ (L^p)^{\ast} | \le \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_\infty -\epsilon ) \le \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon

    따라서

    vϵLvv \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon \le | L_{v} | \le \left\| v \right\|_{\infty}

    이고 이는 임의의 ϵ\epsilon에 대해서 성립하므로

    Lv;(LP)=v | L_{v}; (L^P)^{\ast}| =\left\| v \right\|_{\infty}


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p45-46 ↩︎