📂동역학

헤테로클리닉 바이퍼케이션

정의

헤테로클리닉 바이퍼케이션^{heteroclinic bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 헤테로클리닉 오빗이 나타나거나 사라지는 바이퍼케이션이다.

설명

헤테로클리닉 바이퍼케이션은 그 이름 그대로 헤테로클리닉 오빗에 관련되어 있으며, 파라미터의 변화에 따라 두 고정점 사이를 잇는 매니폴드가 연결되거나 끊어지는 이미지로 상상하면 좋다. 이 때 두 고정점의 근방만 보아서는 헤테로클리닉 오빗에 포함되었다는 것을 알 수 없기 때문에 글로벌 바이퍼케이션이기도 하다.

예시 ¹

$$ \begin{align*} \dot{x}_{1} =& 1 - x_{1}^{2} - \alpha x_{1} x_{2} \\ \dot{x}_{2} =& x_{1} x_{2} + \alpha \left( 1 - x_{1}^{2} \right) \end{align*} $$ 예로써 위와 같은 시스템이 주어져 있다고 하자. 이 시스템은 두 개의 고정점 $\mathbf{x}_{1} = (-1,0)$ 과 $\mathbf{x}_{2} = (1, 0)$ 을 가진다.

이 시스템에서 $\alpha \ne 0$ 일 때는 $\mathbf{x}_{1}$ 과 $\mathbf{x}_{2}$ 을 잇는 매니폴드가 존재하지 않지만, $\alpha = 0$ 일 때는 정확히 $x_{2} = 0$ 과 $x_{1} \in [-1, 1]$ 에서 헤테로클리닉 오빗이 존재한다.

같이보기

• 호모클리닉 오빗과 헤테로클리닉 오빗
• 호모클리닉 바이퍼케이션