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멜린 변환 📂푸리에해석

멜린 변환

정의

함수 f:[0,∞)→Cf : [0, \infty) \to \mathbb{C}에 대해서, 아래의 적분이 존재하면 이를 ff의 멜린 변환Mellin transform이라하고, 이러한 적분변환을 M\mathcal{M}을 이라 표기한다.

Mf(s)=∫0∞xs−1f(x)dx=ϕ(s),s∈C \mathcal{M}f (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x)dx = \phi (s),\quad s \in \mathbb{C}

멜린 역변환inverse Mellin transform은 다음과 같다.

M−1ϕ(x)=12πi∫c−i∞c+i∞x−sϕ(s)ds \mathcal{M}^{-1}\phi (x) = \dfrac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s}\phi (s) ds

설명

적분 변환의 일종이다. 멜린 역변환은 상수 cc의 값에 무관하다. 멜린 변환은 컴퓨터 공학, 정수론, 수리통계학, 양자역학, 단층촬영 등에서 사용되며 라플라스 변환, 푸리에 변환, 감마 함수 등과도 관련이 있다.

푸리에 변환과의 관계

푸리에 변환을 적절히 변형하면 멜린 변환이 된다. 다시말해 Mf=F[f∘exp⁡]\mathcal{M}f = \mathcal{F}[f \circ \exp]이다.

F[f(ex)](ξ)=∫−∞∞f(ex)e−iξxdx=∫0∞f(ex)(ex)−iξ1exd(ex)=∫0∞f(t)t−iξ1tdt=∫0∞f(t)ts1tdt=∫0∞f(t)ts−1dt=M[f(x)](s) \begin{align*} \mathcal{F}[f(e^x)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(e^x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} f(e^x)(e^x)^{-i\xi}\dfrac{1}{e^x}d(e^x) \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{-i\xi}\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^s\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{s-1}dt \\ &= \mathcal{M}[f(x)] (s) \end{align*}

두번째 등호는 dexdx=ex  ⟹  dx=1exdex\frac{d e^x}{dx}=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}de^x이므로 성립한다. 네번째 등호는 s=−iξs=-i \xi로 두면 성립한다.

감마함수와의 관계

f(x)=e−xf(x)=e^{-x}라고 하자. 그러면 ff의 멜린 변환은 감마함수와 같다.

Mf(s)=∫0∞xs−1e−xdx=Γ(s) \mathcal{M}f(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}dx=\Gamma (s)

컨볼루션

컨볼루션이란, 곱의 적분변환을 적분변환의 곱과 같도록 만드는 함수이다. 멜린 변환의 컨볼루션은 다음과 같다.

(f×g)(y)=∫0∞f(x)g(yx)dxx (f \times g) (y) = \int _{0}^{\infty} f(x)g \left(\frac{y}{x} \right)\frac{dx}{x}

M(f×g)=(Mf)(Mg) \mathcal{M}(f \times g)=(\mathcal{M}f)(\mathcal{M}g)