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힐베르트 변환 📂단층촬영

힐베르트 변환

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라돈 역변환

f(x,y)=12B{F−1[∣S∣F(Rf)(S, θ)]>}(x,y) f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]> \right\} (x,y)

위 공식은 ff의 라돈 변환 Rf\mathcal{R}f로부터 ff를 구하는 공식이다 우선 다음과 같은 푸리에 변환의 성질을 떠올려보자.

F[f′](ξ)=iξF(ξ) \mathcal{F} [f^{\prime} ] (\xi) = i\xi \mathcal{F}(\xi)

여기서 ff 대신 Rf\mathcal{R}f를 대입하면 다음을 얻는다.

F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=iSF(Rf)(S, θ) \begin{equation} \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i S \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \label{eq1} \end{equation}

그리고 ∣S∣=S⋅sgn(S)|S|=S\cdot \mathrm{sgn}(S)와 같이 나타내자. sgn\mathrm{sgn}는 부호함수이다.

sgn(S):={1S>00S=0−1S<0 \mathrm{sgn}(S):=\begin{cases} 1 & S>0 \\ 0 & S=0 \\ -1 & S<0 \end{cases}

그러면 (eq1)\eqref{eq1}은 다음과 같다.

F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=i∣S∣sgn(S)F(Rf)(S, θ) \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i \dfrac{|S|}{\mathrm{sgn}(S)} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta)

양변에 i⋅sgn(S)i \cdot \mathrm{sgn}(S)를 곱해주면 다음을 얻는다.

i⋅sgn(S)F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)=−∣S∣F(Rf)(S, θ) i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) =- |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta)

위 식의 우변은 라돈 역변환에서 나타난다. 따라서 그 자리에 대입해주면 다음을 얻는다.

f(x,y)=−12B{F−1[i⋅sgn(S)F(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)]}(x,y) f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)

정의

g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}에 대해서 gg의 힐베르트 변환Hilbert transform Hg\mathcal{H}g를 다음과 같이 정의한다.

Hg(t):=F−1[i⋅sgn(S)⋅Fg(ξ)](t) \mathcal{H} g(t) :=\mathcal{F}^{-1} \big[i \cdot \mathrm{sgn} (S) \cdot \mathcal{F}g(\xi) \big] (t)

힐베르트 변환으로 라돈 역변환을 나타내면 다음과 같다.

f(x,y)=−12B[H(∂(Rf)(t, θ)∂t)(S, θ)](x,y) f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left[ \mathcal{H} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f) (t,\ \theta)}{\partial t} \right) (S,\ \theta) \right] (x,y)