힐베르트 변환
빌드업
$$ f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]> \right\} (x,y) $$
위 공식은 $f$의 라돈 변환 $\mathcal{R}f$로부터 $f$를 구하는 공식이다 우선 다음과 같은 푸리에 변환의 성질을 떠올려보자.
$$ \mathcal{F} [f^{\prime} ] (\xi) = i\xi \mathcal{F}(\xi) $$
여기서 $f$ 대신 $\mathcal{R}f$를 대입하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i S \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \label{eq1} \end{equation} $$
그리고 $|S|=S\cdot \mathrm{sgn}(S)$와 같이 나타내자. $\mathrm{sgn}$는 부호함수이다.
$$ \mathrm{sgn}(S):=\begin{cases} 1 & S>0 \\ 0 & S=0 \\ -1 & S<0 \end{cases} $$
그러면 $\eqref{eq1}$은 다음과 같다.
$$ \mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) = i \dfrac{|S|}{\mathrm{sgn}(S)} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) $$
양변에 $i \cdot \mathrm{sgn}(S)$를 곱해주면 다음을 얻는다.
$$ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) =- |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) $$
위 식의 우변은 라돈 역변환에서 나타난다. 따라서 그 자리에 대입해주면 다음을 얻는다.
$$ f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ i \cdot \mathrm{sgn}(S)\mathcal{F} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f)(t,\ \theta) } {\partial t} \right) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y) $$
정의
$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서 $g$의 힐베르트 변환Hilbert transform $\mathcal{H}g$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \mathcal{H} g(t) :=\mathcal{F}^{-1} \big[i \cdot \mathrm{sgn} (S) \cdot \mathcal{F}g(\xi) \big] (t) $$
힐베르트 변환으로 라돈 역변환을 나타내면 다음과 같다.
$$ f(x,y)=-\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left[ \mathcal{H} \left( \dfrac{\partial (\mathcal{R}f) (t,\ \theta)}{\partial t} \right) (S,\ \theta) \right] (x,y) $$