함수열의 균등수렴
정의
$\mathbb{R}$ 의 부분집합 $E \ne \emptyset$ 에 대해 함수 $f : E \to \mathbb{R}$ 와 함수열 $\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 을 정의하자. 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $n \ge N \implies | f_{n} (x) - f(x) | < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴uniformly convergence한다고 하고 다음과 같이 표기한다.
$$ f_n \rightrightarrows f $$
혹은
$$ f_{n} \overset{\text{unif}}{\to} f $$
혹은
$$ f_{n} \to f \quad \text{uniformly} $$
설명
균등수렴은 함수값이 수렴하는 것만 신경 쓴 점별수렴과 달리 함수열 $f_{n}$ 이 실제로 함수 $f$ 에 수렴하는지까지 신경 쓴 개념이다. 균등수렴하면 점마다 수렴하지만, 점별수렴한다고 균등수렴하진 않는다. 균등수렴하는 함수열은 더 강한 조건이 걸린만큼 더 많은 성질을 갖는다.
반대로 말하면 더 많은 성질, 수학자들이 연구하기 위해 최소한 ‘이정도는 있어야한다’하는 상식적인 성질들을 갖추게 하기 위해 더 강한 조건을 준 것이 균등수렴이다. 점별수렴하는 함수열과 달리 균등수렴하는 함수열은 다음과 같이 $f_{n}$ 의 성질이 $f$ 까지 보존된다.
정리
$E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴한다고 하자.
(a) 연속성: $f_{n}$ 이 $x_{0} \in E$ 에서 연속이면 $f$ 도 $x_{0} \in E$ 에서 연속이다.
(b) 미분가능성: $f_{n}$ 이 $E = (a,b)$ 에서 미분가능하고 $f_{n} ' $ 가 $E$ 에서 균등수렴하면 $f$ 도 $E$ 에서 미분가능하고
$$ \lim_{n \to \infty} {{ d } \over { dx }} f_{n} (x) = {{ d } \over { dx }} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) $$
(c) 적분가능성: $f_{n}$ 이 $E = [a,b]$ 에서 적분가능하면 $f$ 도 $E$ 에서 적분가능하고
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$
$\int_{a}^{b}$ 와 $\displaystyle {{ d } \over { dx }}$ 가 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ 를 자유롭게 넘나든다는 것은 무척 좋은 성질이다. 당연히 되어야 하는 걸 가지고 뭐가 좋냐고 묻는다면 질문 속에 답이 있는 것이나 마찬가지다. 수학이 아닌 다른 분야에선 함수열이 등장하더라도 굳이 균등수렴 같은 개념을 고려하지 않고 당연하다는 듯이 균등수열의 성질을 쓰는 경우가 제법 많은데, 만약 균등수렴성이 없어서 그런 조작들을 쓸 수 없게 된다면 지옥도가 펼쳐질 것이다.