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오일러 상수 e는 무리수다 📂해석개론

오일러 상수 e는 무리수다

정리

e∉Q e \notin \mathbb{Q}

Q\mathbb{Q} 는 유리수의 집합을 나타낸다.

증명

매클로린 전개를 이용1

전략: 매클로린 전개를 통해 e−1e^{-1} 를 두 파트로 찢고 모순을 이끌어낸다. 매클로린 전개를 사용해야하기 때문에 고등학교 교과과정 내에서는 증명할 수 없다.

N\mathbb{N} 는 자연수의 집합, Z\mathbb{Z} 는 정수의 집합을 나타낸다.

  • Part 1. x1=x2x_{1} = x_{2}

    e∈Qe \in \mathbb{Q} 이라고 가정하면 오일러 상수 ee 는 어떤 a,b∈Na,b \in \mathbb{N} 에 대해 e=abe = {{ a } \over {b}} 와 같이 나타날 수 있어야한다. 지수함수의 매클로린 전개에 의해

    e−1=ba=∑k=0∞(−1)kk! e^{-1} = {{ b } \over { a }} = \sum_{k=0}^{\infty} {{ (-1)^{k} } \over { k! }}

    각변에 (−1)a+1a!(-1)^{a+1} a! 를 곱하고 위치를 서로 바꾸면

    ∑k=0∞(−1)k+a+1a!k!=b(−1)a+1(a−1)! \sum_{k=0}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} = b (-1)^{a+1} ( a - 1 )!

    좌변의 시그마가 k=a+1k=a+1 부터 시작한다면 우변에선 ∑k=1a(−1)k+a+1a!k!\sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} 이 빠지므로 ∑k=a+1∞(−1)k+a+1a!k!=b(−1)a+1(a−1)!−∑k=1a(−1)k+a+1a!k! \sum_{k=a+1}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} = b (-1)^{a+1} ( a - 1 )! - \sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} 이제 좌변을 x1x_{1}, 우변을 x2x_{2} 라고 두면 당연히 x1=x2x_{1} = x_{2} 일 것이다. x1:=∑k=a+1∞(−1)k+a+1a!k! x_{1} := \sum_{k=a+1}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }}

    x2:=b(−1)a+1(a−1)!−∑k=1a(−1)k+a+1a!k! x_{2} := b (-1)^{a+1} ( a - 1 )! - \sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }}

  • Part 2. x1∈(0,1)x_{1} \in (0,1)

    x1x_{1} 을 직접 전개해보면

    x1=1a+1−1(a+1)(a+2)+1(a+1)(a+2)(a+3)−⋯ x_{1} = {{ 1 } \over { a+1 }} - {{ 1 } \over { (a+1)(a+2) }} + {{ 1 } \over { (a+1)(a+2)(a+3) }} - \cdots kk 가 커질수록 ∣(−1)k+a+1a!k!∣\left| (-1)^{k+a+1} {{ a! } \over { k! }} \right| 는 점점 작아지므로 x1x_{1} 은 1a+1{{ 1 } \over { a+1 }} 보다 크고 1a+1−1(a+1)(a+2){{ 1 } \over { a+1 }} - {{ 1 } \over { (a+1)(a+2) }} 보다 작아야한다. 따라서 x1x_{1} 는 00 과 11 사이의 어떤 수여야만한다.

  • Part 3. x2∈Zx_{2} \in \mathbb{Z}

    k≤ak \le a 면 a!k!{{ a! } \over { k! }} 는 자연수이므로 x2∈Nx_{2} \in \mathbb{N}정리해보면

    x1∈(0,1) x_{1} \in (0,1)

    x2∈Z x_{2} \in \mathbb{Z}

    그런데 (0,1)∩Z=∅(0,1) \cap \mathbb{Z} = \emptyset 이므로 x1≠x2x_{1} \ne x_{2} 인데, Part 1에서 분명히 x1=x2x_{1} = x_{2} 이었으므로 모순이다.

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ee 의 정의를 이용2

오일러 상수의 정의

e:=∑n=0∞1n! e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}

sns_{n} 을 ee 의 부분합이라 하면, ee 의 정의에 의해 다음과 같다.

e−sn=1(n+1)!+1(n+2)!+1(n+3)!+⋯<1(n+1)!+1(n+1)!(n+1)+1(n+1)!(n+1)2+⋯=1(n+1)!(1+1(n+1)+1(n+1)2+⋯ )=1(n+1)!(n+1n)=1n!n \begin{align*} e - s_{n} =& \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+2)!} + \dfrac{1}{(n+3)!} + \cdots \\ &< \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)^{2}} + \cdots \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \dfrac{1}{(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)^{2}} + \cdots\right) \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( \dfrac{n+1}{n} \right) \\ =& \dfrac{1}{n! n} \end{align*}

이제 ee가 유리수라고 가정하자. 그러면 e=pqe=\dfrac{p}{q}를 만족하는 양의 정수 p,qp, q가 존재하고, 위 식에 의해서 다음이 성립한다.

0<q!(e−sq)<1q 0 < q!(e - s_{q}) < \dfrac{1}{q}

가정에 의해 q!e=(q−1)!pq!e=(q-1)!p 는 정수다. 또한

q!sq=q!(1+1+12!+⋯+1q!) q! s_{q} = q! \left( 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{q!} \right)

이므로 q!sqq!s_{q}도 정수다. 따라서 q!(e−sq)q!(e-s_{q}) 는 정수인데, q≥1q\ge 1 이므로 q!(e−sq)q!(e-s_{q}) 는 00 과 11 사이의 정수라는 말이 된다. 이는 모순이므로 가정이 틀렸고, 귀류법에 따라서 ee 는 무리수다.

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같이보기

  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p263-264 ↩︎

  2. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p65 ↩︎