📂정수론

루트 2 는 무리수임을 증명

정리

$\sqrt{2}$ 는 무리수다.

증명

전략: $\sqrt{2}$ 를 기약분수꼴로 나타내서 모순을 유도한다. 이 방법은 제곱수가 아닌 모든 $n$ 에 대해 $\sqrt{n}$ 이 무리수임을 보이는데에 사용할 수 있다.

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$\sqrt{2}$ 가 유리수라고 가정하면 $\sqrt{2}$ 서로소인 어떤 두 자연수 $a,b$ 에 대해 $\displaystyle \sqrt{2} = {{ a } \over {b}}$ 와 같이 나타날 수 있어야한다. 양변에 $b$ 를 곱하면 $$\sqrt{2} b= a$$ 양변을 제곱하면 $$2 b^2 = a^2$$ $a^2$ 는 $2$ 와 $b^2$ 의 곱이므로 짝수고, $a$ 역시 짝수여야한다. 이는 곧 $a$ 가 어떤 자연수 $A$ 에 대해 $a = 2 A$ 와 같이 나타날 수 있다는 뜻이다. $$2 b^2 = (2A)^2 = 4 A^2$$ 양변을 $2$ 로 나누면 $$b^2 = 2 A^2$$ $b^2$ 는 $2$ 와 $A^2$ 의 곱이므로 짝수고, $b$ 역시 짝수여야한다. 이는 곧 $b$ 가 어떤 자연수 $B$ 에 대해 $b = 2 B$ 와 같이 나타날 수 있다는 뜻이다. 그런데 위에서 $\displaystyle \sqrt{2} = {{ a } \over {b}}$ 와 같이 두었으므로 $$\sqrt{2} = {{ a } \over {b}} = {{ 2A } \over {2B}}$$ 이는 $a$ 와 $b$ 가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sqrt{2}$ 는 무리수다.

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같이보기

• $\pi$ 는 무리수
• $e$ 는 무리수