푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이
📂푸리에해석 푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이 설명 푸리에 급수 와 푸리에 변환 은 열 방정식 을 풀기 위해 등장한 개념이다. 물론 열 방정식 뿐만 아니라 조건을 만족한다면 다른 미분 방정식을 풀 때도 사용할 수 있다. 특히 푸리에 급수는 양자 물리학에서 입자의 에너지를 슈뢰딩거 방정식을 통해서 계산할 때 사용된다. 많은 물리학과 학생들은 그것이 푸리에 급수라는 것인지는 모르고 사용하긴 하지만 말해주면 뭔지는 안다.주어진 미분 방정식의 조건에 따라서 푸리에 변환과 푸리에 급수 둘 중에 어느 것을 사용해야하는지가 정해진다. 문제에서 주어진 범위가 유한할 때는 푸리에 급수를, 문제에서 주어진 범위가 무한할 때는 푸리에 변환을 사용한다.
풀이 다음과 같은 열 방정식이 주어졌다고 하자
u t = k u x x ( − ∞ < x < ∞ )
u_{t}=k u_{xx} (-\infty < x< \infty)
u t = k u xx ( − ∞ < x < ∞ )
$$
u(x,0)=f(x) ( -\infty < x< \infty)
양수인 시간 t t t u u u f f f x → ± ∞ x \rightarrow \pm \infty x → ± ∞ 0 0 0 L 1 L^1 L 1 x x x
F [ u t ] ( ξ , t ) = k F [ u x x ] ( ξ , t )
\mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = k \mathcal{F}[u_{xx}] (\xi,\ t)
F [ u t ] ( ξ , t ) = k F [ u xx ] ( ξ , t )
푸리에 변환의 성질 [ f ′ ] ^ = i ξ f ^ \hat{[f^{\prime}]}=i\xi \hat{f} [ f ′ ] ^ = i ξ f ^
F [ u t ] ( ξ , t ) = − k ξ 2 u ^ ( ξ , t )
\mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t)
F [ u t ] ( ξ , t ) = − k ξ 2 u ^ ( ξ , t )
이때 좌변을 풀어서 적으면 ∫ u t e − i ξ x d x \int u_{t}e^{-i\xi x}dx ∫ u t e − i ξ x d x u u u u u u 간단한 상미분 방정식 이 된다.
∂ u ^ ∂ t ( ξ , t ) = − k ξ 2 u ^ ( ξ , t )
\dfrac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t)
∂ t ∂ u ^ ( ξ , t ) = − k ξ 2 u ^ ( ξ , t )
고정된 ξ \xi ξ
u ^ ( ξ , t ) = f ^ ( ξ ) e − k ξ 2 t
\hat{u}(\xi,\ t) = \hat{f} (\xi) e^{-k\xi^{2}t}
u ^ ( ξ , t ) = f ^ ( ξ ) e − k ξ 2 t
양변에 푸리에 역변환 을 취하면
u ( x , t ) = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e − k ξ 2 t e i ξ x d ξ
\begin{equation}
u(x,\ t) =\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi) e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi
\label{eq1}
\end{equation}
u ( x , t ) = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e − k ξ 2 t e i ξ x d ξ
이를 u u u 푸리에 적분 공식 Fourier integral formula 이라 부른다. 위 식을 푸리에 변환과 합성곱의 성질을 이용하여 간단하게 나타낼 것이다. 푸리에 변환의 성질 ( d ) (d) ( d ) F [ f ∗ g ] = f ^ g ^ \mathcal{F} [f \ast g]=\hat{f}\hat{g} F [ f ∗ g ] = f ^ g ^
f ∗ g = F − 1 [ f ^ g ^ ]
f \ast g=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f} \hat{g}]
f ∗ g = F − 1 [ f ^ g ^ ]
( eq1 ) \eqref{eq1} ( eq1 ) e − k ξ 2 t e^{-k\xi ^{2}t} e − k ξ 2 t F [ K t ] ( ξ ) = e − k ξ 2 t \mathcal{F}[K_{t}] (\xi)=e^{-k\xi^{2} t} F [ K t ] ( ξ ) = e − k ξ 2 t ( eq1 ) \eqref{eq1} ( eq1 )
u ( x , t ) = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) K t ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ = F − 1 [ f ^ K t ^ ] ( x ) = f ∗ K t ( x )
\begin{align*}
u(x,\ t) &= \dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) \hat{K_{t}}(\xi) e^{i\xi x} d\xi
\\ &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}\hat{K_{t}}] (x)
\\ &= f \ast K_{t}(x)
\end{align*}
u ( x , t ) = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) K t ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ = F − 1 [ f ^ K t ^ ] ( x ) = f ∗ K t ( x )
이제 K t K_{t} K t
K t ( x ) = F − 1 F [ K t ] ( x ) = F − 1 [ e − k ξ 2 t ] = 1 2 π ∫ e − k ξ 2 t e i ξ x d ξ = 1 2 π ∫ e − k ξ 2 t e − i ξ ( − x ) d ξ = 1 2 π F [ e − k ξ 2 t ] ( − x ) = 1 4 π k t e − x 2 / 4 k t d x
\begin{align*}
K_{t}(x)= \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F}[K_{t}] (x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ e^{-k\xi ^{2} t} \right]
\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi
\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{-i\xi (-x)}d\xi
\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \mathcal{F} \left[e^{-k\xi^{2}t} \right] (-x)
\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-x^{2}/4kt}dx
\end{align*}
K t ( x ) = F − 1 F [ K t ] ( x ) = F − 1 [ e − k ξ 2 t ] = 2 π 1 ∫ e − k ξ 2 t e i ξ x d ξ = 2 π 1 ∫ e − k ξ 2 t e − i ξ ( − x ) d ξ = 2 π 1 F [ e − k ξ 2 t ] ( − x ) = 4 πk t 1 e − x 2 /4 k t d x
마지막 수식은 가우스 함수의 푸리에 변환 공식 으로 간단히 얻을 수 있다. 따라서 이를 u u u
u ( x , t ) = f ∗ K t ( x ) = ∫ f ( y ) K t ( x − y ) d y = 1 4 π k t ∫ f ( y ) e − ( x − y ) 2 / 4 k t d y
\begin{align*}
u(x,\ t) &= f \ast K_{t}(x)
\\ &= \int f(y) K_{t}(x-y) dy
\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4 \pi kt}} \int f(y) e^{-(x-y)^{2}/4kt}dy
\end{align*}
u ( x , t ) = f ∗ K t ( x ) = ∫ f ( y ) K t ( x − y ) d y = 4 πk t 1 ∫ f ( y ) e − ( x − y ) 2 /4 k t d y
처음 주어진 미분 방정식의 조건에 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,\ 0)=f(x) u ( x , 0 ) = f ( x ) lim t → 0 u ( x , t ) = lim t → 0 f ∗ K t ( x ) = f ( x ) \lim \limits_{ t\rightarrow 0} u(x,\ t)=\lim \limits_{ t\rightarrow 0} f \ast K_{t}(x)=f(x) t → 0 lim u ( x , t ) = t → 0 lim f ∗ K t ( x ) = f ( x ) f f f 증명 할 수 있다.
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