푸리에 역변환 정리
📂푸리에해석 푸리에 역변환 정리 빌드업 푸리에 변환 을 유도하는 과정에서 역변환의 정의도 같이 유도했다. 하지만 이는 이해를 돕기 위해 단순히 설명한 것으로 변환 식을 정확하게 유도한 것은 아니다. 우선 푸리에 역변환은 아래와 같다.
f ( x ) = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
\begin{equation}
f(x) =\dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi
\end{equation}
f ( x ) = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
위 식에는 f f f f ^ \hat{f} f ^ f f f f f f f ^ \hat{f} f ^ f ^ \hat{f} f ^ f f f
f ^ ( ξ ) : = ∫ f ( x ) e − i ξ x d x
\begin{equation}
\hat{f} (\xi) := \int f(x) e^{-i\xi x}dx
\end{equation}
f ^ ( ξ ) := ∫ f ( x ) e − i ξ x d x
푸리에 변환을 위와 같이 정의했을 때 ( 1 ) (1) ( 1 )
푸리에 역변환 정리 f f f f ^ \hat{f} f ^ ( 2 ) (2) ( 2 ) f f f 조각마다 연속 이라고 가정하자. f f f
f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ]
f(x)=\dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big]
f ( x ) = 2 1 [ f ( x − ) + f ( x + ) ]
그러면 아래의 식이 성립한다.
f ( x ) = lim ϵ → 0 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ
f(x)=\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0}\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi
f ( x ) = ϵ → 0 lim 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ
더욱이, 만약 f ^ ∈ \hat{f} \in f ^ ∈ L 1 L^1 L 1 f f f
f ( x ) = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ = F − 1 [ f ^ ] ( x )
f(x) =\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}] (x)
f ( x ) = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ = F − 1 [ f ^ ] ( x )
따름정리 만약 f ^ = g ^ \hat{f}=\hat{g} f ^ = g ^ f = g f=g f = g
증명 f = F − 1 [ f ^ ] = F − 1 [ g ^ ]
f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}]=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}]
f = F − 1 [ f ^ ] = F − 1 [ g ^ ]
따라서
f = F − 1 [ g ^ ] = F − 1 F [ g ] = g
f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}]=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}[g]=g
f = F − 1 [ g ^ ] = F − 1 F [ g ] = g
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설명 따름 정리를 보았을 때 ‘뭐지? 당연한거 아닌가?‘라는 생각이 들 수도 있겠지만 전혀 당연하지 않다. 미분이라는 연산을 생각해보자. f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^2+1 f ( x ) = x 2 + 1 g ( x ) = x 2 + 4 g(x)=x^2+4 g ( x ) = x 2 + 4 f ′ ( x ) = 2 x = g ′ ( x ) f^{\prime}(x)=2x=g^{\prime}(x) f ′ ( x ) = 2 x = g ′ ( x ) f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f ( x ) = g ( x )
증명 전략:
문제를 쉽게 풀기 위해서 절단 함수cutoff function 를 사용할 것이다. 절단 함수란 곱해서 극한을 취했을 때 이름 그대로 어떤 범위 밖을 잘라내는 듯한 효과가 나타나는 것을 말한다. 원점 근처에서는 원래의 값을 유지하고 원점에서 멀어질수록 0 0 0 몰리파이어 와 비슷한 개념이다. 이 부분의 설명을 잘 이해하지 못하겠다면 그냥 넘어가도 무방하다. 어쨌든 아래와 같은 절단함수를 역변환으로 유도하고자 하는 식에 곱해줄 것이다.
η ( ξ ) = 1 2 π e − x 2 2 , η ϵ ( ξ ) = 1 ϵ η ( ξ ϵ ) = 1 ϵ 2 π e − x 2 2 ϵ 2
\eta (\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad \eta_\epsilon (\xi)=\dfrac{1}{\epsilon}\eta \left( \frac{\xi}{\epsilon} \right)=\dfrac{1}{\epsilon\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon^2}}
η ( ξ ) = 2 π 1 e − 2 x 2 , η ϵ ( ξ ) = ϵ 1 η ( ϵ ξ ) = ϵ 2 π 1 e − 2 ϵ 2 x 2
위의 절단 함수를 곱하면
1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ
\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi
2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ
위 식은 푸리에 변환의 정의에 의해 아래와 같다.
1 2 π ∫ ∫ f ( y ) e − i ξ y d y e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ
\dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi
2 π 1 ∫∫ f ( y ) e − i ξ y d y e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ
여기에서 푸리에 변환의 정의와 합성곱 등을 사용하여 수식을 바꿔주면
1 2 π ∫ ∫ f ( y ) e − i ξ y d y e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ = 1 2 π ∫ ∫ f ( y ) e − i ξ ( y − x ) e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d y d ξ = 1 2 π ∫ F [ e − ϵ 2 ξ 2 / 2 ] ( y − x ) f ( y ) d y = 1 2 π ∫ 2 π ϵ 2 e − ( y − x ) 2 2 ϵ 2 f ( y ) d y = ∫ 1 ϵ 2 π e − ( x − y ) 2 2 ϵ 2 f ( y ) d y = ∫ η ϵ ( x − y ) f ( y ) d y = f ∗ η ϵ ( x )
\begin{align*}
\dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\int} f(y) {\color{blue}e^{-i\xi (y-x)}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}}dy {\color{blue}d\xi}
\\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\mathcal{F} \left[ e^{-\epsilon^2 \xi^2 /2}\right] (y-x)} f(y) dy
\\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\sqrt{\dfrac{2\pi}{\epsilon^2}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2\epsilon^2}}} f(y) dy
\\ &= \int \dfrac{1}{\epsilon \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-y)^2}{2\epsilon^2}} f(y) dy
\\ &= \int \eta_\epsilon (x-y)f(y) dy
\\ &= f \ast \eta_\epsilon (x)
\end{align*}
2 π 1 ∫∫ f ( y ) e − i ξ y d y e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ = 2 π 1 ∫ ∫ f ( y ) e − i ξ ( y − x ) e − ϵ 2 ξ 2 /2 d y d ξ = 2 π 1 ∫ F [ e − ϵ 2 ξ 2 /2 ] ( y − x ) f ( y ) d y = 2 π 1 ∫ ϵ 2 2 π e − 2 ϵ 2 ( y − x ) 2 f ( y ) d y = ∫ ϵ 2 π 1 e − 2 ϵ 2 ( x − y ) 2 f ( y ) d y = ∫ η ϵ ( x − y ) f ( y ) d y = f ∗ η ϵ ( x )
세번째 등호에서 아래의 공식을 사용했다.
가우스 함수의 푸리에 변환
가우스 함수 f ( x ) = e − A x 2 f(x)=e^{-Ax^2} f ( x ) = e − A x 2
F [ f ] ( ξ ) = F [ e − A x 2 ] ( ξ ) = π A e − ξ 2 4 A
\mathcal{F}[f] (\xi) = \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{-\frac{\xi ^2}{4A}}
F [ f ] ( ξ ) = F [ e − A x 2 ] ( ξ ) = A π e − 4 A ξ 2
그러면 f f f f f f
lim ϵ → 0 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ = lim ϵ → 0 f ∗ η ϵ ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] = f ( x )
\begin{align*}
\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f \ast \eta_\epsilon (x)
\\ &= \dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big]
\\ &= f(x)
\end{align*}
ϵ → 0 lim 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ = ϵ → 0 lim f ∗ η ϵ ( x ) = 2 1 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] = f ( x )
또한 f ^ ∈ L 1 \hat{f} \in L^1 f ^ ∈ L 1
∣ e i ξ x e − ϵ 2 ∣ ξ ∣ 2 / 2 f ^ ( ξ ) ∣ ≤ ∣ f ^ ( ξ ) ∣
\left| e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2|\xi|^2 /2} \hat{f}(\xi) \right| \le \left| \hat{f}(\xi) \right|
e i ξ x e − ϵ 2 ∣ ξ ∣ 2 /2 f ^ ( ξ ) ≤ f ^ ( ξ )
이므로 지배수렴정리 에 의해
f ( x ) = lim ϵ → 0 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ = 1 2 π ∫ lim ϵ → 0 f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 / 2 d ξ = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
\begin{align*}
f(x) &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi
\\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi
\\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi
\end{align*}
f ( x ) = ϵ → 0 lim 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ = 2 π 1 ∫ ϵ → 0 lim f ^ ( ξ ) e i ξ x e − ϵ 2 ξ 2 /2 d ξ = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
따라서
f ( x ) = 1 2 π ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi
f ( x ) = 2 π 1 ∫ f ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ
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