정규직교기저 완비 정규직교집합
정리: 정규직교집합이 가지는 동치조건
$\left\{ \phi_{n} \right\}_{1}^\infty$가 $L^2(a,b)$의 정규직교집합 이고 $f \in L^2(a,b)$라고 하자. 그러면 아래의 조건은 모두 동치이다.
$(a)$ 모든 $n$에 대해서 $\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0$이면, $f=0$이다.
$(b)$ 모든 $f\in L^2(a,b)$에 대해서, 급수 $\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$이 $f$로 놈 센스에서 수렴 한다. 다시 말해 아래의 식이 성립한다.
$$ f=\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n} $$
$(c)$ 모든 $f \in L^2(a,b)$에 대해서 **파세발 방정식Parseval’s equation이라 불리는 아래와 같은 식을 만족한다.
$$ \| f \|^2 = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$
설명
위 정리의 $(a) - (c)$를 만족하는 정규직교집합을 정규직교기저 혹은 완비 정규직교집합이라 부른다.
위의 세 조건을 잘 살펴보면 정규직교기저는 유한차원의 벡터공간에서 기저와 같은 역할을 한다는 것을 알 수 있다.
$\left\{ \phi_{n} \right\}$이 정규직교기저일 때 상수 $\left\langle f, \phi_{n}\right\rangle$들을 (일반화된)푸리에 계수 라고 한다.
급수 $\sum \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$을 (일반화된)푸리에 급수 라고 한다.
보조정리
$f \in L^2(a,b)$이고 $\left\{ \phi_{n} \right\}$가 $L^2(a,b)$에서 정규직교집합이라고하자. 그러면 급수 $\sum \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$은 놈 센스에서 수렴한다. 그리고 다음과 같은 부등식을 만족한다.
$$ \left\| \sum \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\| \le | f| $$
증명
$(a) \implies (b)$
$(a)$를 가정하자. 그러면 보조정리에 의해서 $\sum \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$이 놈 센스에서 수렴한다. $f$와 급수의 차이를 $g$라고 정의하자.
$$ g=f-\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} $$
그러면 $g=0$임을 보일 수 있다.
$$ \begin{align*} \left\langle g,\phi_{m} \right\rangle &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \left\langle \phi_{n}, \phi_{m} \right\rangle \\ &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle \\ &=\ 0 \end{align*} $$
따라서 가정에 의해 $g=0$이다. 그러므로 $f= \sum_{n=1}^\infty \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$
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$(b) \implies (c)$
$(b)$를 가정하자. 그러면 $f=\sum_{1}^\infty \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$이므로
$$ \begin{align*} \| f \|^2 &=\ \left\| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \left\| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left\| \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^ 2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum _{n=1}^{N} | \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle |^2 \\ &= \sum \limits _{n=1} ^{\infty} | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle |^2 \end{align*} $$
세번째 등식은 가정에 의해 급수가 놈 센스에서 수렴하므로 성립한다. 네번째 등식은 피타고라스 정리에 의해 성립한다.
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$(c) \implies (a)$
$(c)$를 가정하자. 그러면
$$ \| f \|^2 =\sum \limits _{n=1} ^{\infty}\left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$
따라서 모든 $n$에 대해서 $\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0$이면, $f=0$이다.
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