📂동역학

동역학에서의 불변집합

정의

엄밀한 정의 ¹

동역학계 $\left( T, X , \varphi^{t} \right)$ 에서 부분집합 $S \subset X$ 가 다음을 만족하면 $S$ 를 불변집합^{invariant set}이라 한다. $$x_{0} \in S \implies \varphi^{t} x_{0} \in S \qquad , \forall t \in T$$

벡터필드와 맵 ²

공간 $X$ 와 함수 $f,g : X \to X$ 에 대해 벡터필드 혹은 맵이 다음과 같이 표현된다고 하자. $$\dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x)$$ $S \subset X$ 라고 하자.

• (V): $\forall x_{0} \in S$ 가 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족하면 벡터필드 $\dot{x}=f(x)$ 하에서의 불변집합이라 한다. $$x(t,x_{0}) \in S$$
• (M): $\forall x_{0} \in S$ 가 모든 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 다음을 만족하면 맵 $x \mapsto g(x)$ 하에서의 불변집합이라 한다. $$g^{n} (x_{0}) \in S$$

불변집합들은 조건에 따라 다음과 같이 불릴 수도 있다.

1. 불변집합 $S$ 의 시간이 $t \ge 0$ 혹은 $n \ge 0$ 까지만 고려되면 양불변집합^{positively invariant set}이라하고, 반대로 $t \le 0$ 혹은 $n \le 0$ 까지만 고려되면 음불변집합^{negatively invariant set}이라 한다.
2. 불변집합 $S$ 가 $C^{r}$ 미분가능한 매니폴드의 구조를 이루고 있으면 $C^{r}$ 불변 매니폴드라고 한다.

설명

불변집합은 과거 시간이든 미래 시간이든 벗어날 수 없는 집합을 말한다. 과거 시간으로 벗어날 수 없다는 말은 바꿔말해 불변집합의 외부에서 들어오는 것이 허용되지 않는다는 것이다. 모든 시간 $\mathbb{R}$ 을 고려하기 때문에 ‘움직임’처럼 역동적인 모양을 상상하기보다는 이미 결정된 ‘공간’으로 상상하는 것이 바람직하다.

매니폴드가 언급될 뿐만 아니라 아니라 공간 그 자체를 탐구한다는 점에서 위상수학과의 연관성을 떠올리는 사람이 많을텐데, 역사적으로도 동역학과 위상수학은 같은 뿌리에서 나왔기 때문에 서로 익숙한 것들이 자주 나올 수밖에 없다. 양쪽 모두에서 큰 업적을 남긴 학자로는 ‘푸앙카레 추측’으로도 유명한 앙리 푸앙카레^{Henri Poincaré}가 있는데, 애초에 당시는 이들이 구분되지 않았기 때문에 양쪽에서 업적을 남겼다는 표현은 적절치 못할 수 있다. 1900년대 초반은 위상수학과 동역학의 태동기로써, 푸앙카레와 같은 학자들에 의해 발전한 이론들이 각자의 관심을 좇아 분화된 것으로 보아야한다.

주어진 시스템에서 불변집합의 존재성을 찾는 메이저한 방법으로는 아다마르 메소드^{Hadamard’s method}와 랴푸노프-페론 메소드^{Liapunov-Perron method} 두 가지가 있으며, 그 안정성과 미분가능성 등에 대해서도 많은 관심을 가진다.