📂편미분방정식

비선형 1계 편미분 방정식의 표기법

표기법¹

비선형 1계 편미분방정식은 다음과 같이 표기한다.

$$\begin{equation} F(Du, u, x) = F(p, z, x) = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

• $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$은 열린집합
• $x\in \Omega$
• $F : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \bar{ \Omega } \to \mathbb{R}$는 주어진 함수
• $u : \bar{ \Omega } \to \mathbb{R}$는 $F$의 변수

설명

비선형 1계 편미분 방정식 $F$를 푼다는 것은, 주어진 $F$에 대해서 $F=0$을 만족하는 변수 $u$를 찾는 것이다. 이때 $x$는 시공간을 모두 포함하는 변수라고 하자.

$$x=(x_{1}, \dots, x_{n}=t)$$

위의 함수 $F$를 다음과 같이 표기한다.

$$F=F(p, z, x)=F(p_{1}, \dots, p_{n}, z, x_{1}, \cdots, x_{n})$$

• $p=Du(x) \in\mathbb{R}^n$
• $z=u(x)\in \mathbb{R}$
• $x\in \bar{ \Omega }$

그리고 함수 $F$는 충분히 매끄러워서 편미분 가능하다고 가정한다. 대게 이러하므로 딱히 강한 조건은 아니다. 그러면 각 변수에 대한 $F$의 그래디언트는 다음과 같다.

$$\begin{cases} D_{p} F=(F_{p_{1}},\ \cdots,\ F_{p_{n}}) \\ D_{z}F=Fz \\ D_{x}F=(F_{x_{1}},\ \cdots,\ F_{x_{n}} )\end{cases}$$

클레로 방정식을 이러한 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

$$F(Du,\ u,\ x)=xDu+f(Du)$$

경계값 문제

흔히 미분방정식 $\eqref{eq1}$은 경계 조건과 함께 주어진다. 그런 경우에 다음과 같이 표기한다.

$$\begin{align*} F(Du,\ u,\ x)&=0 && \text{in } \mathbb{\Omega} \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*}$$ 이때 $\Gamma \subset \partial \Omega, g : \Gamma \to \mathbb{R}$이다.