📂전자기학

전기역학에서의 운동량 보존

개요¹

전기역학에서의 운동량 보존 법칙은 다음과 같다.

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

설명

뉴턴의 제 2법칙에 의하면 물체가 받는 힘과 그 물체의 운동량의 변화량은 같다.

$$ \mathbf{F} = \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} $$

$\mathbf{p}$는 부피 $\mathcal{V}$속의 입자의 총 역학적 운동량이다. 전자기장에 저장된 운동량과 구분하기 위해 $\mathbf{p}$를 '역학적' 운동량이라 부르겠다. 부피 속의 전하가 받는 전자기력은 아래와 같다.

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

따라서

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

위 식이 전기역학에서의 운동량 보존 법칙이다. 모양이 포인팅 정리 와 비슷하므로 비슷한 방식으로 이해할 수 있다.

우변의 첫번째 적분은 부피 $\mathcal{V}$속의 전자기장에 저장된 운동량이다. 즉 $\epsilon_{0} \mu_{0} \mathbf{S}$는 단위부피 공간의 전자기장에 저장된 운동량, 쉽게 말해 장의 운동량 밀도라고 할 수 있다. 이를 다음과 같이 나타낸다.

$$ \mathbf{g} =\epsilon_{0} \mu_{0} \mathbf{S} = \epsilon_{0} \mathbf{E}\times\mathbf{B} $$

우변의 두번째 적분은 단위시간동안 부피 $\mathcal{V}$를 감싸는 면(경계) $\mathcal{S}$로 흘러 들가는 운동량이다. 따라서 역학적 운동량 $\mathbf{p}$가 늘어난다면 장에 저장된 운동량이 줄고있거나 경계면을 통해서 장에 실려 들어오는 운동량이 있는 것이다.진공과 같이 부피 $\mathcal{V}$속 역학적 운동량이 시간에 대해 변하지 않을 때는

$$ \begin{align*} && 0 &= - \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a} \\ \implies && \quad \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau &= \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}=\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{T} d\tau \end{align*} $$

둘째줄 두번째 괄호는 발산정리에 의해 성립한다. 위의 결과에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$ \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} =\nabla \cdot \mathbf{T} $$

위 식은 전자기 운동량에 대한 연속방정식이다. $\mathbf{g}$가 $\rho$와 같은 역할을, $-\mathbf{T}$가 $\mathbf{J}$와 같은 역할을 한다. 이는 전자기장의 운동량이 국소적으로 보존됨을 의미하지만 일반적으로는 그렇지 않다. 전하와 전자기장이 운동량을 주고받으므로 그 둘 전체의 운동량이 보존된다. 즉 물질과 전자기장의 운동량의 합인 총 운동량이 보존된다.