📂전자기학

포인팅 정리와 포인팅 벡터

정리¹

전자기력이 전하에 해준 일은 전자기장에 저장된 에너지의 감소량과 경계면을 통해 밖으로 새어나간 에너지를 더한 것과 같다. 이를 포인팅 정리^{Poynting’s theorem}라 한다.

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}} B^2 \right) d\tau - \dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{a} \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

$\mathcal{S}$는 $\mathcal{V}$의 경계이다. $u$는 단위부피 공간의 전자기장에 저장된 총 에너지이다. 우변의 두번째 항의 피적분함수 $\mathbf{S}$는 전자기장에 실려 단위시간동안에 단위면적을 지나가는 에너지이고 포인팅 벡터^{Poynting vector}라 한다.

$$ \mathbf{S} =\dfrac{1}{\mu_{0}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

에너지 흐름 밀도^{energy flux density} 라고도 한다.

설명

포인팅 정리로부터 에너지에 대한 연속 방정식을 얻는다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

전자기장에 저장된 에너지가 보존됨을 말해주는 식이다.

포인팅을 pointing으로 착각하기 쉽지만 Poynting이라는 사람 이름이다. 가리킨다던가하는 등 영어단어 point와는 전혀 관계가 없으므로 착각하지 말자.

포인팅 정리는 단위 시간동안에 전자기력이 전하에 해준 일을 어떻게 계산하는지에 대한 정리다. 특히 포인팅 벡터는 전자기학 뒷부분에서 운동량과 에너지에 대한 내용을 다룰 때 계속 등장하는 중요한 개념이다.

증명

전하분포를 만들어주는데 필요한 일(쿨롱힘을 거슬러 해주는 일)과 전류가 흐르게 하는데 필요한 일(역기전력을 거슬러 해주는 일)은 각각 다음과 같다.

$$ W_{E} =\dfrac{\epsilon_{0}}{2}\int E^2 d\tau , \quad \quad W_{B} =\dfrac{1}{2\mu_{0}}\int B^2 d\tau $$

$\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$는 각각 전하분포, 전류분포가 만드는 전자기장이다. 따라서 단위부피의 공간에 전자기장으로 저장된 총 에너지는 다음과 같다.

$$ u =\dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 +\dfrac{1}{\mu_{0}} B^2\right) $$

• Part 1. 포인팅 정리

어떤 전하분포와 전류분포로부터 시각 $t$에 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$가 생겨났다고 하자. 시간 $dt$ 뒤에 전하가 움직였다면 전자기력이 시간 $dt$동안 이 전하에 해준 일 $dW$은 일의 정의와 로런츠 힘 법칙을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} dW &= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} \\ &= q(\mathbf{E} +\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} dt \\ &= q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} dt \end{align*} $$

마지막 등호가 성립하는 이유는 $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$는 $\mathbf{v}$와 수직하므로 $(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}=0$. 혹은 자기력은 일은 하지 않기 때문이라고 설명할 수 있다. 전하량은 $q=\int \rho d\tau$이고, $\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$이므로

$$ \begin{align} dW &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E}\cdot \rho\mathbf{v} d\tau dt \nonumber \\ &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau dt \nonumber \\ \implies \dfrac{dW}{dt} &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau \end{align} $$

따라서 $\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$는 단위시간동안 단위부피에 해준 일이라 할 수 있다. 다르게 표현하면 단위부피에 해준 일률이다. 맥스웰 방정식 $\text{(iv)}$에 의해 $\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$이므로

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \epsilon_{0} \mathbf{E}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

곱셈규칙 (d) $\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})$와 패러데이 법칙 $\nabla \times \mathbf{E}= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$을 사용하여 첫째항을 더 간단히 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mathbf{B} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

따라서 원래의 식은

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\left( \epsilon_{0} \mathbf{E} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{E} } {\partial t} + \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}\cdot\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

우변의 첫째항을 간단하게 만들기 위해 아래와 같은 관계식을 쓸 수 있다

$$ \dfrac{\partial}{\partial t} A^2=\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \\ \implies \mathbf{A}\cdot \dfrac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t} A^2 $$

따라서 원래의 식에 적용시키면

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial t} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right) -\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

마지막으로 이를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) d\tau \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

두번째 등호는 발산정리에 의해 성립한다. 우변의 첫번째 항은 글 상단에서 봤듯이 전자기장 속에 저장된 전체 에너지 $u$이다. 포인팅 벡터를 $\mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}( \mathbf{E} \times \mathbf{B})$라고 정의한다. $u$와 $\mathbf{S}$로 포인팅 정리를 간단히 표현하면

$$ \dfrac{dW}{dt} =-\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} $$

• Part 2. 연속 방정식

부피 $\mathcal{V}$속의 전하에 일을 해주지 않으면 그 때는 $\dfrac{dW}{dt}=0$이므로 포인팅 정리는

$$ \int \dfrac{\partial u}{\partial t} d\tau =- \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a}=-\int \nabla \cdot \mathbf{S} d\tau $$

두번째 등호는 발산정리에 의해 성립한다. 따라서

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

부피 속의 전자기장에 저장된 에너지가 변하면(좌변) 그 만큼 전자기장에 저장된 에너지가 부피의 경계면을 통해 빠져나간다(우변)는 말이다. 즉, 국소적 에너지가 보존된다는 말이다. 하지만 일반적으로는 전자기장의 에너지 자체는 보존되지 않는다. 전자기장과 상호작용하는 물체와 전자기장 모두의 에너지를 계산할 때에만 에너지가 보존된다.

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