디랙 델타 함수
정의
아래의 두 조건을 만족하는 함수를 디랙델타함수라 한다.
$$ \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} $$
$$ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 $$
설명
※크로네커 델타와 헷갈리지 않게 주의가 필요하다.
공학에서는 단위 임펄스 함수unit impulse function이라 부른다. 정확하게 말하자면 수학적으로 디랙 델타 함수는 함수가 아니다. 0에서 무한대로 발산하기 때문인데, 그리피스 교재에서는 아래와 같이 설명돼있다.“델타 함수는 $x=0$에서 값이 한 없이 커지므로 기술적으로는 함수가 아니다. 수학 문헌에서는 일반화된 함수generalized function 또는 분포distribution라고 한다"위의 수식만 보고서는 델타 함수가 어떤 것인지 한 번에 이해하기는 어렵다. 아래의 그림을 보면 기하학적인 의미를 파악하는데 도움이 될 것이다.
조금 더 직관적으로 설명하면 아래와 같다. 높이가 $n$, 폭이 $\displaystyle \frac{1}{n}$인 직사각형 $R_{n}(x)$ 또는 높이가 $n$, 밑변이 $\displaystyle \frac{2}{n}$인 이등변삼각형 $T_{n}(x)$와 같은 함수열의 극한
델타 함수가 어떤 것인지 이해됐다면 델타 함수의 특징을 살펴보자. 함수 $f(x)$가 델타 함수가 아닌 일반적인 함수라면 $f(x)\delta (x)$의 값은 $x=0$을 제외한 모든 곳에서 $0$이다. ($\because$ $\delta (x)$가 $x=0$을 제외한 모든 곳에서 $0$이므로)즉, $x=0$에서만 값이 존재한다. 따라서 아래의 식이 성립한다.
$$ f(x)\delta (x) = f(0) \delta (x) $$
적분 꼴로 나타내면
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x) dx = f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = f(0)} $$
일반적인 경우를 나타내기 위해 델타 함수의 봉우리를 $x=0$에서 $x=a$로 옮기면 아래와 같다.
$$ \delta (x-a) = \begin{cases} 0, & x\neq a \\ \infty , & x=a \end{cases} $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x-a) dx}=1 } $$
$$ f(x)\delta (x-a) = f(a) \delta (x-a) $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x-a) dx = f(a)} $$
또한 3차원에서 델타 함수는 아래와 같다.
$$ \int f( \mathbf{r} ) \delta ^3 (\mathbf{r}-\mathbf{a}) d\tau = f(\mathbf{a}) $$
이 때,
$$ \int \delta ^3 (\mathbf{r} ) d\tau =1 $$
$$ \delta ^3 (\mathbf{r})=\delta (\mathbf{x}) \delta (\mathbf{y}) \delta (\mathbf{z}) $$