📂함수

디랙 델타 함수

정의

아래의 두 조건을 만족하는 함수를 디랙델타함수라 한다.

$$ \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 $$

설명¹

$\delta(x)$는 $x=0$에서 발산하므로 사실 함수는 아니다. 이를 수학적으로 엄밀하게 기술할 수는 있으나, 당장에 이 함수를 계산하면서 많이 쓸 여러 전공의 학부생들이 이해하기에는 쉽지 않다. 계산상에서는 델타 함수의 이상한 정의가 크게 문제되지 않기 때문에 정확한 정의를 이해하지 않고 사용법 자체만 알고 가도 상관없다. 마치 $\dfrac{dy}{dx}$가 실제로 분수는 아니지만 이것을 분수로 보고 분자와 분모를 따로 조작하여도 연쇄법칙 등의 결과가 잘 맞아떨어지는 것과 같다. 다만 발산하는 점이 있기 때문에 계산할 때는 $\delta$가 단독으로 쓰이지는 않고 항상 적분 속에 있을 때만 값을 정할 수 있다는 점만 알아두자.

크로네커 델타 $\delta_{ij}$는 인덱스가 같을 때만 $1$의 값을 갖는데, 마치 디랙 델타함수의 이산 버전과 같다. 바꿔 말하면 디랙 델타함수는 크로네커 델타의 연속적인 버전이다.

$$ \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases} $$

기하학적 의미

델타 함수는 위 그림처럼 원점에서 무한히 좁고 높게 솟아 있으면서도 그래프 아래의 넓이는 $1$인 스파이크로 그려진다. 이러한 직관은 보통의 함수로 이루어진 함수열의 극한으로 구체화할 수 있다. 높이가 $n$이고 폭이 $\dfrac{1}{n}$인 직사각형 함수 $R_{n}$과, 높이가 $n$이고 밑변이 $\dfrac{2}{n}$인 이등변삼각형 함수 $T_{n}$을 생각하자.

$$ R_{n}(x) = \begin{cases} n, & |x| \le \dfrac{1}{2n} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \qquad T_{n}(x) = \begin{cases} n - n^{2} |x|, & |x| \le \dfrac{1}{n} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

$n$이 커질수록 두 함수 모두 점점 좁고 높아지지만, 그래프 아래의 넓이는 모든 $n$에 대해 $1$로 일정하다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} R_{n}(x) dx = n \cdot \frac{1}{n} = 1 \qquad \int_{-\infty}^{\infty} T_{n}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n} \cdot n = 1 $$

따라서 극한 $n \to \infty$에서는 $x = 0$을 제외한 모든 곳에서 함숫값이 $0$이 되는데도 전체 적분은 여전히 $1$로 남는다. 델타 함수는 바로 이 극한으로 상상할 수 있는 대상이다.

$$ \delta (x) = \lim_{n \to \infty} R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} T_{n}(x) $$

성질

$f$가 델타 함수가 아닌 보통의 함수라 하자. $\delta (x)$는 $x = 0$을 제외한 모든 곳에서 $0$이므로, 곱 $f(x) \delta (x)$에서 $f$의 값은 $f(0)$ 하나만 살아남는다.

(a) 샘플링 성질^{sampling property}: 델타 함수와의 곱을 적분하면 $f$에서 한 점의 값이 뽑혀 나온다.

$$ f(x) \delta (x) = f(0) \delta (x) \implies \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x) dx = f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = f(0) $$

(b) 평행이동: 스파이크를 $x = a$로 옮긴 $\delta (x - a)$에 대해서도 샘플링 성질이 그대로 성립한다.

$$ \delta (x - a) = \begin{cases} 0, & x \neq a \\ \infty, & x = a \end{cases} \qquad \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x - a) dx = 1 $$

$$ f(x) \delta (x - a) = f(a) \delta (x - a) \implies \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x - a) dx = f(a) $$

(c) 우함수, 스케일링: 델타 함수는 우함수이며, $a \neq 0$인 상수배에 대해 다음이 성립한다.

$$ \delta (-x) = \delta (x) \qquad \delta (ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x) $$

(d) 3차원 델타 함수: 위치벡터 $\mathbf{r} = (x, y, z)$에 대해 각 성분의 델타 함수의 곱으로 정의하며, 부피요소 $d\tau = dx dy dz$에 대한 적분은 $1$이다.

$$ \delta^{3} (\mathbf{r}) = \delta (x) \delta (y) \delta (z) \qquad \int \delta^{3} (\mathbf{r}) d\tau = 1 $$

샘플링 성질 역시 3차원에서 그대로 성립한다.

$$ \int f( \mathbf{r} ) \delta^{3} (\mathbf{r} - \mathbf{a}) d\tau = f(\mathbf{a}) $$

응용

중력, 전기력을 비롯한 자연의 기본적인 힘은 크기가 거리의 제곱에 반비례하는 역제곱 법칙을 따른다. 즉 원천이 원점에 있을 때 이들이 만드는 장은 벡터 함수 $\dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}$에 비례한다. 이 벡터 함수는 원점에서부터 모든 방향으로 뻗어 나가는 모양이므로 다이벌전스가 클 것처럼 보이지만, 막상 계산해보면 $0$이 나온다. 구좌표계에서 지름 성분 $v_{r}$만 갖는 벡터 함수의 다이벌전스는 $\nabla \cdot \mathbf{v} = \dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^{2} v_{r} \right)$이므로 다음과 같다.

$$ \nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} = \dfrac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^{2} \cdot \dfrac{1}{r^{2}} \right) = \dfrac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (1) = 0 $$

물론 $\dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}$는 $r = 0$에서 정의되지 않으므로, 정확히 말하면 $\nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}$는 $r \ne 0$인 모든 곳에서 $0$인 함수다. 한편 이 다이벌전스를 원점이 중심이고 반지름이 $R$인 구 $\mathcal{V}$에 대해 부피적분하면 이야기가 달라진다. 발산 정리에 의해 부피적분은 구의 표면 $\mathcal{S}$에 대한 면적분으로 바뀌고, 표면 위에서는 $r = R$로 고정되어 미소 면적 벡터가 $d\mathbf{a} = R^{2} \sin\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{r}}$이므로 다음을 얻는다.

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} dV = \oint_{\mathcal{S}} \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{R^{2}} \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{S}} \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{R^{2}} \cdot \left( R^{2} \sin\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{r}} \right) = \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi = 4\pi $$

이 값은 구의 반지름 $R$에 무관하다. 구를 아무리 작게 줄여도 적분은 여전히 $4\pi$이고, 반지름을 한없이 키운 전체 공간에 대한 적분 역시 $4\pi$이다. 결국 $\nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}$는 원점을 제외한 모든 곳에서 $0$인데도 적분하면 $0$이 아닌 일정한 값이 나오는 셈인데, 이는 정확히 델타 함수의 성질이다. 다이벌전스 전부가 원점 한 점에 몰려 있는 것이며, 3차원 델타 함수를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} = 4\pi \delta^{3}(\mathbf{r}) $$

이를 이용하면 언뜻 복잡해보이는 아래의 적분도 쉽게 계산할 수 있다. $\mathcal{V}$가 원점을 포함하는 영역일 때, 델타 함수의 성질에 의해 $r^{2} + 2$ 자리에는 원점에서의 값 $0^{2} + 2$만 살아남는다.

$$ \begin{align*} \int_{\mathcal{V}} (r^{2} + 2) \nabla \cdot \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} dV &= \int_{\mathcal{V}} (r^{2} + 2) 4\pi \delta^{3}(\mathbf{r}) dV \\ &= 4\pi (0^{2} + 2) \int_{\mathcal{V}} \delta^{3}(\mathbf{r}) dV \\ &= 8\pi \end{align*} $$