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리-요크 정리 증명 📂동역학

리-요크 정리 증명

정리

연속 맵 f:[a,b]→[a,b]f: [a,b] \to [a,b] 의 피리어딕-33 오빗이 존재하면 ff 는 캐어릭하다.

설명

리-요크 정리li-Yorke theorem는 삼주기 정리period-33 theorem라도 불리며, 피리어딕-33 가 혼돈을 야기한다는 스테이트먼트 자체로도 많이 언급된다. 물론 이 정리만 보면 11차원 맵에 한정되어 있지만 고작 피리어딕-33 오빗의 존재성이 모든 피리어딕 오빗의 존재성을 보장하는 것은 수학적으로 보았을 때 아주 놀라운 일이다. 보통 수학에는 nn 에 대해서 어떤 성질이 성립한다면 고작 그 약수, 배수, 그보다 작은 수에 대해서 성립하는 정도가 많기 때문이다.

역사

리-요크 정리를 일반화한 정리로써 샤르코우스키 정리가 있는데, 실제로는 리-요크의 논문이 1975년에 발표되었고 샤르코우스키의 논문이 1964년에 발표되었으므로 거꾸로 리-요크 정리가 샤르코우스키 정리의 특수화라고 보는 게 맞다. 냉전시대 때문에 샤르코우스키의 업적은 세상에 늦게 알려졌고, 알려졌을 때는 이미 리-요크 정리가 카오스 이론의 중심적인 정리로 자리를 잡은 상태였다.

증명

전략: 하필 피리어딕-33 오빗이 필요한 이유는 가령 세 개의 피리어딕 포인트 x0<x1<x2x_{0} < x_{1} < x_{2} 가 있다면 공간을 L=[x0,x1]L=[x_{0} , x_{1}] 과 R=[x1,x2]R=[x_{1} , x_{2} ] 두 파트로 나눌 수 있기 때문이다. 피리어딕-mm 오빗이 존재한다는 걸 보이기 위해서 어떤 고정점 pp 가 왼쪽 LL 에서 시작해 f(p),f2(p),⋯ ,fm−1(p)f(p) , f^2 ( p) , \cdots , f^{m-1} (p) 은 RR 에서 머물다 마지막에 fm(p)f^{m} (p) 만 LL 로 돌아오도록 하는 서브인터벌의 시퀀스를 찾을 것이다.

Part 1. 폐구간 I,i′I,i ' 에 대해 I’⊂f(I)I’ \subset f(I) 이라고 하면 f(S)=i′f(S) = i ' 를 만족하는 서브인터벌 S⊂IS \subset I 가 존재한다.

i′i ' 는 폐구간이므로 최대최소값 정리와 중간값 정리에 의해 f(s0)=min⁡i′f(s_{0}) = \min i ' 와 f(s1)=max⁡i′f(s_{1}) = \max i ' 을 만족하는 s0,s1∈Is_{0} , s_{1} \in I 이 존재한다. 이에 대해 s0s_{0} 와 s1s_{1} 을 포함하는 최소한의 폐구간을 SS 라고 하면 S⊂IS \subset I 은 ff 의 연속성에 의해 f(S)=i′f(S) = i ' 를 만족한다.

Part 2. I0⊂f(I0)I_{0} \subset f ( I_{0} ) 이면 In⊂I0I_{n} \subset I_{0} 과 In−1=f(In)I_{n-1} = f ( I_{n} ) 를 만족하는 폐구간의 시퀀스 {In}n∈N\left\{ I_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 존재하고 I0=fn(In)I_{0} = f^{n} ( I_{n} ) 이 성립한다.

n=1n=1 인 경우 Part 1에 의해 I0=f(I1)I_{0} = f(I_{1}) 을 만족하는 I1⊂I0I_{1} \subset I_{0} 이 존재한다.

n>1n>1 인 경우 In⊂I0I_{n} \subset I_{0} 과 In−1⊂f(In)I_{n-1} \subset f ( I_{n} ) 가 성립한다고 가정해보자. 그러면 In⊂I0⊂f(I0)I_{n} \subset I_{0} \subset f ( I_{0} ) 이므로 Part 1에 의해 In=f(In+1)I_{n} = f(I_{n+1}) 을 만족하는 In+1⊂I0I_{n+1} \subset I_{0} 이 존재하고, 수학적 귀납법에 의해 시퀀스 {In}n∈N\left\{ I_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 존재한다.

한편 재귀적으로 포함관계를 풀어보면 I0=f(I1)=f(f(I2))=f2(I2)=⋯=fn(In) I_{0} = f ( I_{1} ) = f \left( f(I_{2} ) \right) = f^{2} ( I_{2} ) = \cdots = f^{n} ( I_{n} ) 이므로 I0=fn(In)I_{0} = f^{n} ( I_{n} ) 을 얻는다.

Part 3. fmf^{m} 은 모든 m∈Nm \in \mathbb{N} 에 대해 고정점을 갖는다.

[a,b][a,b] 의 세 점 x0<x1<x2x_{0} < x_{1} < x_{2} 가 x1:=f(x0)x_{1} := f(x_{0}) 와 x2:=f2(x0)x_{2} := f^{2} (x_{0} ) 를 만족하는 ff 의 피리어딕-33 오빗이라고 하자. 그리고 편의상 L:=[x0,x1]L := [x_{0} ,x_{1} ] 을 왼쪽left , R:=[x1,x2]R := [x_{1} , x_{2}] 을 오른쪽right이라 정의하자.

  • Part 3-1. R⊂f(R)R \subset f ( R)
    [x1,x2]⊂[x0,x2] [x_{1} , x_{2} ] \subset [x_{0} , x_{2} ] 이고 [x0,x2]=[f(x2),f(x1)]⊂f[x1,x2] [x_{0} , x_{2}] = [ f( x_{2} ) , f ( x_{1} ) ] \subset f [ x_{1} , x_{2} ] 이므로 [x1,x2]⊂[x0,x2]⊂f[x1,x2] [x_{1} , x_{2} ] \subset [x_{0} , x_{2}] \subset f [ x_{1} , x_{2} ] 을 얻는다. 정리하면 R⊂f(R)R \subset f ( R) 이다.
  • Part 3-2. R⊂f(L)R \subset f ( L) [x1,x2]=[f(x0),f(x1)]⊂f[x0,x1] [x_{1} , x_{2}] = [ f( x_{0} ) , f ( x_{1} ) ] \subset f [ x_{0} , x_{1} ] 이 성립한다. 정리하면 R⊂f(L)R \subset f ( L ) 이다.
  • Part 3-3. fmf^{m} 의 고정점 pp 가 존재한다.

중간값 정리의 고정점 정리 폼: I⊂f(I)I \subset f (I) 이면 연속함수 ff 는 II 에서 고정점을 가진다.

중간값 정리의 고정점 정리 폼에 의해 fmf^{m} 에 대해 I⊂fm(I)I \subset f^{m} (I) 를 만족하는 구간 II 가 존재함을 보이면 고정점도 존재한다.

  • Part 3-3-1. m=1m=1

    • 위의 Part 3-1. 에서 R⊂f(R)R \subset f (R ) 임을 보였으므로 중간값 정리에 의해 f1f^{1} 은 RR 에서 고정점을 갖는다.

  • Part 3-3-2. m≠1m \ne 1

    • I0:=RI_{0} := R 이라고 하면 Part 3-1. 에 의해 I0⊂f(I0)I_{0} \subset f ( I_{0} ) 가 성립한다. 그러면 Part 2에 따라 모든 n=1,⋯ ,m−2n =1 , \cdots, m-2 에 대해 In−1=f(In)I_{n-1} = f ( I_{n} ) 을 만족하는 In⊂I0=RI_{n} \subset I_{0} = R 이 존재한다.
    • 다만 n=m−1n = m-1 에 대해서는 Part 3-2의 R⊂f(L)R \subset f ( L) 을 이용해 Part 1을 적용시키려고 한다. 그러면 Im−2⊂R⊂f(L)I_{m-2} \subset R \subset f(L) 이므로, f(Im−1)=Im−2f(I_{m-1}) = I_{m-2} 을 만족하는 Im−1⊂LI_{m-1} \subset L 이 존재하고 Im−1⊂L⊂[x0,x2]=[f(x2),f(x1)]⊂f[x1,x2]=f(R)=f(I0)⊂f(fm−2(Im−2))⊂f(fm−2(f(Im−1)))⊂fm(Im−1) \begin{align*} I_{m-1} \subset& L \\ \subset& [x_{0} , x_{2} ] \\ =& [ f( x_{2} ) , f( x_{1} ) ] \\ \subset& f [ x_{1} , x_{2} ] \\ =& f ( R ) \\ =& f ( I_{0} ) \\ \subset& f \left( f^{m-2} ( I_{m-2} ) \right) \\ \subset& f \left( f^{m-2} ( f ( I_{m-1} ) ) \right) \\ \subset& f^{m} \left( I_{m-1} \right) \end{align*} 정리하면 Im−1⊂fm(Im−1)I_{m-1} \subset f^{m} (I_{m-1}) 이므로 중간값 정리에 의해 fmf^{m} 은 Im−1⊂LI_{m-1} \subset L 에서 고정점을 갖는다.

모든 m∈Nm \in \mathbb{N} 에 대해 fmf^{m} 은 LL 에서 고정점을 가지는데, 이 고정점을 p∈Im−1⊂Lp \in I_{m-1} \subset L 이라고 하자.

  • Part 3-4. fmf^{m} 의 고정점 pp 는 ff 의 피리어딕-mm 포인트다.
    • m=1m=1 이면 고정점이 곧 피리어딕-11 포인트다. 따라서 m>1m>1 일 때 자연수 1≤k<m 1 \le k < m 에 대해서 pp 가 fkf^{k} 의 고정점이 될 수 없음을 보이면 된다. {Ik}k=0m−1\left\{ I_{k} \right\}_{k=0}^{m-1} 의 정의에 의해 fk(Im−1)=fk−1(f(Im−1))=fk−1(Im−2)⊂R f^{k} ( I_{m-1} ) = f^{k-1} \left( f ( I_{m-1} ) \right) = f^{k-1} \left( I_{m-2} \right) \subset R 그런데 p∈Lp \in L 이므로 fk(p)∈Rf^{k} (p) \in R 과는 같을 수 없다. 다시 말해 k=1,⋯ ,m−1k= 1 , \cdots , m-1 에 대해 fk(p)≠pf^{k} (p) \ne p 이므로 pp 는 ff 의 피리어딕-mm 포인트가 된다.

위의 Part 1.~Part 3. 을 정리하면 ff 는 모든 m∈Nm \in \mathbb{N} 에 대해 피리어딕-mm 오빗을 가지므로 캐어릭하다.

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참고로 Part 1에서 증명된 보조정리는 주어진 이미지 i′i ' 에 대한 프리이미지 SS 를 구해주기 때문에 프리이미지 렘마 라고도 불린다.