📂양자역학

규격화된 파동함수의 상태는 시간의 변화에 무관하다

정리¹

규격화된 파동함수는 시간이 변해도 규격화된 상태를 유지한다.

설명

시간 $t=0$일 때 파동함수를 규격화했다고 가정하자. 위 정리에 의해 이후에 시간이 변함에 따라 파동함수가 규격화된 상태를 유지함이 보장된다. 이는 파동함수를 확률밀도함수로 다룰 수 있게 해주는 아주 중요한 사실이다.

증명

전략: 시간이 변해도 일정하다는 것을 보이려면 $\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} (x,t) \psi (x,t) dx }$를 시간으로 미분해서 그 결과가 $0$임을 보이면 된다. 즉, ${ \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} \psi dx \right)=0}$임을 확인하면 증명완료다.

---

$$ \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = \int \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial t}\psi + \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) dx \end{equation} $$

이 때, 슈뢰딩거 방정식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +U\psi \\[1em] \implies && \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +\frac{U\psi }{i \hbar} \end{align*} $$

그러면 복소 켤레는 다음과 같다.

$$ \frac{\partial \psi ^{\ast} }{\partial t} = \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x ^2} -\frac{U^{\ast} \psi ^{\ast} }{i \hbar} $$

이를 $(1)$에 대입하고 퍼텐셜이 있는 항과 없는 항을 나누면 다음과 같다.

$$ \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx + \int \frac{1}{i\hbar}\left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right) dx $$

이 때 두번 째 항(퍼텐셜이 포함된 항)은 값이 $0$인데 그 이유는 아래와 같다.

$$ \braket{ U } = \braket{ \psi \vert U\psi } = \int \psi ^{\ast} U \psi dx $$

$$ \braket{U} ^{\ast} = \braket{ \psi \vert U\psi }^{\ast} = \braket{ U\psi \vert \psi } = \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx $$

이 때 퍼텐셜$U$의 기댓값은 실수 이므로

$$ { \begin{align*} \braket{U} - \braket{U} ^{\ast} &= \int \psi ^{\ast} U \psi dx - \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx \\ &= \int \left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right)dx = 0 \end{align*}} $$

그리고 아래의 등식을 이용하여 첫번째 항(퍼텐셜이 없는 항)의 모양을 바꿔준다.

$$ \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi + \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} -\frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\ &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \end{align*} $$

이를 대입하면, 파동함수의 함숫값은 양 끝에서 $0$이므로, 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi }{\partial x^2} \right) dx &= \frac{\hbar}{2mi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{2mi} \left[ \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= 0 \end{align*} $$

그러므로 다음의 결론을 얻는다.

$$ \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = 0 $$

■