초함수, 일반화된 함수
정의1 2
$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$가 열린 집합이라고 하자. 테스트 함수 공간의 연속인 선형 범함수 $T : \mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{C}$를 초함수distribution라고 정의한다. 즉 초함수는 테스트 함수 공간의 듀얼 스페이스의 원소이다. 따라서
$$ T \in \mathcal{D}^{\ast} $$
와 같이 표기하고 $D^{\ast}$를 (슈바르츠) 초함수 공간(Schwartz) distribution space이라 부른다.
설명
distribution이라는 이름은 디랙 델타 함수가 질량이 한 점에 있는 점질량 등을 표현하기 위해 고안된 것에 영향을 받은 것 같다. 직역하면 분포이지만 수학자들은 초함수라고 한다. 다른 이름인 gerneralized function은 엄밀하게는 함수가 아닌 디랙 델타 함수와 같은 것들을 엄밀하게 정의한 개념이기 때문에 붙여졌다. 초함수의 정의에서 중요한 부분은 연속이라는 부분이다. 연속함수일 동치 조건에 의하여 초함수 $T$가 연속이라는 것은 다음을 의미한다.
$$ \phi_{j} \to \phi \implies T(\phi_{j}) \to T(\phi) $$
그런데 테스트 함수 공간에서의 수렴을 조금 특별하게 정의했다. 따라서 구체적으로 초함수의 정의를 다시 적으면 아래와 같다.
테스트 함수 공간 $\mathcal{D}(\Omega)$의 범함수 $T : \mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{C}$가 선형(a)이고, 연속(b)이면 이를 초함수라고 한다.
(a) $T(a\phi + b \psi ) = aT(\phi)+bT(\psi)\quad (\phi,\psi\in \mathcal{D},\ a,b\in\mathbb{C})$
(b) $\phi_{j} \to \phi \text{ in } \mathcal{D} \implies T(\phi_{j}) \to T(\phi)$
이때 아래의 조건을 만족하는 $\mathcal{D}(\Omega)$의 함수열 $\left\{ \phi_{j} \right\}$에 대해서 $\phi_{j} \to \phi \text{ in } \mathcal{D}$라고 정의한다.
(c) $\mathrm{supp} (\phi_{j}-\phi) \subset K\quad \forall\ j$ 를 만족하는 $K \Subset \Omega$가 존재한다.
(d) 각각의 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서 $D^{\alpha}\phi_{j}$가 $D^{\alpha} \phi$로 균등하게 수렴한다.
초함수의 정의에 따라 디랙 델타 함수를 아래와 같이 정의할 수 있다.
$$ \begin{align*} \delta_{a} : \mathcal{D} &\to \mathbb{C} \\ \phi &\mapsto \phi (a) \end{align*} $$