수리물리
감마함수, 베셀함수, 르장드르 다항식 등의 특수 함수에 관한 내용은 '함수' 카테고리에서 확인할 수 있다.
기초
- 충분히 작은 각도란?
- 퍼텐셜, 퍼텐셜 에너지의 일반적인 정의
- 미분 연산자란?
- 평면으로 들어가는/평면에서 나오는 벡터 표기법 $\otimes$, $\odot$
- 물리학에서 기댓값의 표기법 $\braket{x}$
- 물리학에서 선속이란?
좌표계
벡터해석
수학적인 엄밀함은 조금 제하고 3차원에 한정하여 물리학, 공학 전공자 수준의 벡터해석을 다룬다. 일반적인 다변수해석, 벡터해석은 다변수벡터해석 카테고리에서 다룬다.
벡터 해석에서는 스칼라 함수 $f = f(x,y,z)$와 벡터 함수 $\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right)$에 대해서 다룬다. 다만 물리학에서는 벡터 함수라는 표현보다는 간단히 벡터라고 하는 경우도 많다.
물리학에서 스칼라 함수로 자주 쓰이는 표기로는 $T, V, U, \phi, \psi$ 등이 있다. 스칼라 함수는 스칼라 장scalar field이라고도 한다.
$$T = T(x,y,z)$$
수식적으로는 $T(x,y,z)=2xy+z^{2}$와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 온도를 들 수 있다. 3차원 공간의 어떤 좌표 $(x,y,z)$가 주어지면 그 곳의 온도는 스칼라 값이므로 온도는 스칼라 함수로 표현된다.
벡터 함수로 자주 쓰이는 표기로는 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ 등이 있다. 벡터 함수는 벡터 장vector field이라고도 한다.
$$ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}} $$
수식적으로는 $\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}}$와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 속도를 들 수 있다. 3차원 공간에서 운동하고 있는 어떤 물체의 좌표 $(x,y,z)$가 주어지면 그 곳에서의 물체의 속도는 3차원 벡터이므로 속도는 벡터 함수로 표현된다.
그런데 물리에서는 벡터 함수의 변수가 시간 $t$에 의존하는 경우를 많이 다룬다. 이 때는 다음과 같이 일변수 벡터함수 꼴로 표현 된다. $\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) )$라고 하면,
$$ \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right) $$
벡터 대수
벡터 미분
- 직교좌표계에서의 벡터, 내적, 외적의 미분
- 3차원 스칼라/벡터 함수의 도함수
- 분리벡터 $\abcR = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$
- 물리학에서 델 연산자란
- 헤비사이드 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수이다
벡터 적분
텐서해석
텐서
곡선좌표계
미분방정식
- 미분방정식 기초
- 구면 조화함수: 구면좌표 라플라스 방정식의 극각, 방위각에 대한 일반해
- 변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이
- 변수분리법을 사용하여 원통 좌표계에서 제트축에 무관한 라플라스 방정식의 풀이
전체 포스트
- 물리학에서 기댓값의 표기법
- 방향각과 방향코사인
- 두 벡터의 내적과 사잇각의 관계
- 벡터 삼중곱, BAC-CAB 공식
- 레비-치비타 심볼
- 크로네커 델타
- 두 레비-치비타 심볼의 곱
- 아인슈타인 표기법
- 분리벡터
- 분리벡터의 크기의 그래디언트
- 스칼라 삼중곱
- 직교좌표계의 단위벡터로 표현한 구면좌표계의 단위벡터
- 유클리드 공간이란
- 그래디언트의 컬은 항상 0이다
- 벡터 함수의 컬의 컬
- 컬의 다이벌전스는 항상 0이다
- 삼차원 유클리드 공간에서 외적이란
- 직교좌표계 단위벡터를 구면좌표계의 단위벡터로 나타내기
- 곡선좌표계에서의 그래디언트, 다이벌전스, 컬, 라플라시안
- 직교좌표계에서의 벡터, 내적, 외적의 미분
- 가우스 정리, 발산 정리
- 유사벡터란
- 기울기의 기본 정리
- 분리벡터의 발산
- 변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이
- 변수분리법을 사용하여 원통 좌표계에서 제트축에 무관한 라플라스 방정식의 풀이
- 델 연산자가 두 번 들어간 수식, 2계 도함수
- 헤비사이드 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수가 됨을 증명
- 분리벡터의 회전
- 스토크스 정리
- 델 연산자가 포함된 식의 부분적분
- 물리학에서 텐서란
- 베셀 방정식의 유도
- 물리학 부록
- 충분히 작은 각도란
- 물리학을 위한 미분방정식 기초: 자주 접하는 미분방정식의 풀이법
- 물리학에서 델 연산자란
- 구면 조화함수: 구면좌표 라플라스 방정식의 극각, 방위각에 대한 일반해
- 구면조화함수의 규격화
- 물리학에서 미분연산자란?
- 에르미트 함수가 만족하는 미분 방정식의 연산자 풀이
- 두 벡터의 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다
- 극 좌표계에서 초점이 원점인 타원의 방정식
- 제2 종 타원 적분
- 3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 컬(회전)
- 구좌표계에서의 미소부피
- 극 좌표계에서 미소 면적 원통 좌표계에서 미소 부피
- 3차원 데카르트 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트(기울기)
- 3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산)
- 원통 좌표계의 변수로 r, 세타를 쓰면 안되는 이유
- 전미분, 완전미분
- 3차원 공간의 곡선 좌표계
- 곡선 좌표계의 스케일 팩터
- 곡선 좌표계에서 좌표 변환과 자코비안
- 곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트기울기
- 곡선 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스발산
- 3차원 데카르트 좌표계에서 스칼라 함수의 라플라시안
- 곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 라플라시안
- 델 연산자가 포함된 곱셈 규칙
- 델 연산자가 포함된 벡터 적분의 여러 공식
- 벡터 넓이의 정의와 성질
- 3차원 스칼라/벡터 함수의 도함수
- 퍼텐셜, 퍼텐셜 에너지의 일반적인 정의
- 라그랑주 승수법
- 물리학에서 좌표계와 좌표
- 물리학에서 좌표변환
- 3차원 공간에서 두 벡터의 점곱(내적)이란?
- 곡선 좌표계에서 벡터 함수의 컬(회전)
- 평면으로 들어가는/평면에서 나오는 벡터 표기법
- 수직선의 정의
- 좌표평면의 정의
- 극 좌표계
- 좌표공간, 데카르트 좌표계
- 구 좌표계
- 물리학에서 선속(플럭스)이란?
- 구 좌표계에서의 델 연산자
- 곡선 좌표계에서 델 연산자
- 원통 좌표계에서의 델 연산자
- 원통 좌표계