다변수벡터해석
다변수벡터해석에서는 다음과 같은 함수들의 미분과 적분에 대해서 다룬다.
- 벡터값 함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$
- 다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$
- 다변수벡터함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$
실수 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 해석개론 카테고리 에서 다룬다.
특히 3차원 함수 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$와 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$는 수학적 엄밀함을 조금 제하고 물리학, 공학 전공자의 수준에 맞춰 수리물리 카테고리에서 다룬다.
유클리드 공간
벡터값 함수
벡터값 함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$에 대한 내용을 다룬다.
미분
적분
다변수 함수
다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$에 대한 내용을 다룬다.
미분
- 전미분
- 방향 도함수
- 그래디언트 $\nabla u = \operatorname{grad}u$
- 라플라시안 $\Delta u = \nabla^{2} u$
- 헤세 행렬
- 테일러 정리
- 스칼라 함수의 벡터와 행렬의 도함수 표 $\nabla \mathbf{w}^{T} R \mathbf{x}$
적분
다변수벡터함수
$\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$에 대한 내용을 다룬다.
미분
적분
주요 참고문헌
- Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976)
- William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
- James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)
전체 포스트
- 벡터값 함수의 도함수
- 벡터값 함수의 극한과 연속
- n차원 유클리드 공간에서 두 벡터 사이의 각도
- 유클리드 공간에서 내적이란
- 파푸스-굴딘 정리 증명
- 스칼라 함수와 벡터값 함수
- 야코비 행렬 혹은 자코비 행렬이란
- 헤세 행렬이란
- 스칼라 필드의 그래디언트
- 벡터필드에서의 볼륨
- 벡터필드에서의 다이벌전스
- 벡터값 함수의 적분
- 벡터와 행렬의 도함수 표
- 편 도함수
- 다변수 함수의 적분
- 스칼라필드의 라플라시안
- 전 도함수: 다변수 벡터함수의 도함수
- 정칙 사상
- 방향 도함수의 정의
- 다변수 벡터함수의 연쇄법칙
- 합성함수의 자코비안
- 해석학에서 역함수 정리
- 다변수 함수에 대한 테일러 정리
- n차원 극좌표
- 잔차제곱합의 그래디언트
- 편미분의 기호를 다르게 쓰는 이유