그린-가우스 정리, 부분적분 공식
정리
$U\subset \mathbb{R}^{n}$를 열린집합이라고 하자. $u : \bar{U} \to \mathbb{R}$이고, $u \in C^1(\bar{U})$라고 하자. $\nu$를 외향단위법선벡터라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{equation} \int_{U} u_{x_{i}}dx=\int _{\partial U} u\nu^{i} dS\quad (i=1,\dots, n) \label{eq1} \end{equation} $$
이를 모든 $i$에 대해서 합하면 아래의 식을 얻는다. 각각의 $u^{1} \in C^{1}(\bar{U})$에 대해서, $\mathbf{u} = (u^{1},\dots,u^{n}) : \bar{U} \to \mathbb{R}^{n}$이라고 하면,
$$ \int_{U} \nabla \cdot \mathbf{u} dx = \int_{\partial U} \mathbf{u} \cdot \nu dS $$
이 결과를 그린-가우스 정리Green-Gauss theorem 혹은 발산 정리divergence theorem라 한다.
따름정리: 부분적분공식
$u, v \in C^1(\bar{U})$라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
$$ \int_{U} u_{x_{i}}vdx = -\int_{U} uv_{x_{i}}dx + \int_{\partial U} uv\nu^{i} dS\quad (i=1,\dots , n) $$
증명
$\eqref{eq1}$에 $u$대신 $uv$를 적용하여 얻을 수 있다.
$$ \int_{U} (uv)_{x_{i}} dx = \int_{U} u_{x_{i}}v dx +\int_{U} uv_{x_{i}} dx =\int _{\partial U} u v\nu ^{i} dS $$
이항하여 정리하면 다음과 같다.
$$ \int_{U} u_{x_{i}}v dx =-\int_{U} uv_{x_{i}} dx + \int _{\partial U} uv \nu ^{i} dS $$
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