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감마 분포와 푸아송 분포의 관계 📂확률분포론

감마 분포와 푸아송 분포의 관계

정리

모든 자연수 kk 에 대해 다음이 성립한다. ∫μ∞zk−1e−zΓ(k)dz=∑x=0k−1μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }

설명

  • k,θ>0k, \theta > 0 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 Γ(k,θ)\Gamma ( k , \theta ) 를 감마 분포gamma distribution라고 한다. f(x)=1Γ(k)θkxk−1e−x/θ,x>0 f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0
  • λ>0\lambda > 0 에 대해 다음과 같은 확률 질량 함수를 가지는 이산 확률 분포 Poi(λ)\text{Poi} ( \lambda ) 를 푸아송 분포poisson distribution라고 한다. p(x)=e−λλxx!,x=0,1,2,⋯ p(x) = {{ e^{-\lambda} \lambda^{x} } \over { x! }} \qquad , x = 0 , 1 , 2, \cdots

이 등식은 감마 분포와 푸아송 분포의 누적 확률 분포 함수가 서로 관련이 있음을 보여준다. 이는 감마 분포가 지수 분포와의 관계를 가진다는 점에서 충분히 그럴법하다고 짐작할 수 있다.

증명

수학적귀납법을 사용한다.

k=1k=1 일 때 ∫μ∞z0e−zΓ(0)dz=e−μ=∑x=00μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{0} e^{-z} } \over { \Gamma (0) } } dz = e^{-\mu} = \sum_{x=0}^{0} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } k=Nk=N일 때 ∫μ∞zN−1e−zΓ(N)dz=∑x=0N−1μxe−μx!\displaystyle \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { \Gamma (N) } } dz = \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } 이 성립한다고 가정하면 부분적분법에 따라 ∫μ∞zN−1e−zΓ(N)dz=∫μ∞zN−1e−z(N−1)!dz=[zNe−zN!]μ∞−∫μ∞−zNe−zN!dz=−μNe−μN!+∫μ∞zNe−zΓ(N+1)dz=∑x=0N−1μxe−μx! \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over \Gamma (N) } dz =& \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { (N-1)! } } dz \\ =& \left[ { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } \right] _{\mu} ^{\infty} - \int_{\mu}^{\infty} - { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } dz \\ =& - { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz \\ =& \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} 다. 마지막 두 줄을 다시 정리해보면 ∫μ∞zNe−zΓ(N+1)dz=μNe−μN!+∑x=0N−1μxe−μx!=∑x=0Nμxe−μx! \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz =& { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \\ =& \sum_{x=0}^{N} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} 이고, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 kk 에 대해 다음이 성립한다. ∫μ∞zk−1e−zΓ(k)dz=∑x=0k−1μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }

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