📂통계적분석

자기회귀과정

모델 ¹

백색 잡음 $\left\{ e_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 에 대해 $Y_{t} := \phi_{1} Y_{t-1} + \phi_{2} Y_{t-2} + \cdots + \phi_{p} Y_{t-p} + e_{t}$ 과 같이 정의된 $\left\{ Y_{t} \right\}_{ t \in \mathbb{N} }$ 을 $p$차 자기회귀과정 $AR(p)$ 라고 한다.

• (1): $AR(1) : Y_{t} = \phi Y_{t-1} + e_{t}$
• (2): $AR(2) : Y_{t} = \phi_{1} Y_{t-1} + \phi_{2} Y_{t-2} + e_{t}$
• (p): $AR(p) : Y_{t} = \phi_{1} Y_{t-1} + \phi_{2} Y_{t-2} + \cdots + \phi_{p} Y_{t-p} + e_{t}$
• (∞): $AR( \infty ) : Y_{t} = e_{t} + \phi_{1} Y_{t-1} + \phi_{2} Y_{t-2} + \cdots$

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• $\mathbb{N}$ 은 자연수의 집합 $\left\{ 1, 2, 3 , \cdots \right\}$ 을 의미한다.

설명

$AR(p)$ 를 ‘자기회귀과정’이라고 부르는 이유는 말 그대로 이전 시간의 자기 자신을 독립변수처럼 본 회귀식의 모양을 갖추기 때문이다. 당연하지만 변수들끼리의 독립성을 가정하지는 않는다. 또한 정상성을 필요로 하지도 않는데, 대표적으로 $AR(1) : Y_{t} = \phi Y_{t-1} + e_{t}$ 는 증가하거나 감소, 혹은 진동과 같은 단순한 움직임을 보일 것을 어렵지 않게 짐작할 수 있다.