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두 레비-치비타 심볼의 곱 📂수리물리

두 레비-치비타 심볼의 곱

정리

다음과 같이 정의되는 ϵijk\epsilon_{ijk}를 레비-치비타 심볼이라고 한다.

ϵijk={+1if ϵ123,ϵ231,ϵ312−1if ϵ132,ϵ213,ϵ3210if i=j or j=k or k=i \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if} \ \epsilon_{123}, \epsilon_{231}, \epsilon_{312} \\ -1 & \text{if} \ \epsilon_{132}, \epsilon_{213}, \epsilon_{321} \\ 0 & \text{if} \ i=j \ \text{or} \ j=k \ \text{or} \ k=i \end{cases}

다음과 같이 정의되는 δij\delta_{ij}를 크로네커 델타라고 한다.

δij:={1,i=j0,i≠j \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

두 레비-치비타 심볼의 곱과 크로네커 델타 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

(a) 한 개의 인덱스가 같은 경우: ϵijkϵilm=δjlδkm−δjmδkl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}

(b) 두 개의 인덱스가 같은 경우: ϵijkϵijm=2δkm\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm}=2\delta_{km}

(c) 세 개의 인덱스가 같은 경우: ϵijkϵijk=6\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6

설명

글 전반에서 ∑\sum을 생략하는 아인슈타인 표기법을 사용하고 있음에 유의하라. 이는 위의 공식에서도 마찬가지이다. (a)는 쓸 일이 많아서 외워두면 유용하다. 쉽게 외우는 방법은 다음과 같다.

1.PNG

증명

(a)

ei\mathbf{e}_{i} (i=1,2,3)(i=1,2,3) 를 3차원에서의 표준단위벡터 라고 하자.

e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) \mathbf{e}_{1} = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_{2} = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_{3} = (0, 0, 1)

PijkP_{ijk}를 1,2,31,2,3행이 각각 ei\mathbf{e}_{i}, ej\mathbf{e}_{j}, ek\mathbf{e}_{k}인 3×33 \times 3 행렬이라고 하자.

Pijk=[— ei —— ej —— ek —] P_{ijk} = \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix}

그러면 행렬식의 성질에 의해 det⁡Pijk=ϵijk\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}임을 쉽게 알 수 있다. 우선 P123P_{123}은 항등행렬이므로 행렬식이 11이다. 또한 서로 다른 행의 순서를 짝수번 바꿨을 때 행렬식의 값은 변하지 않으므로,

det⁡P123=det⁡P231=det⁡P312=1 \det P_{123} = \det P_{231} = \det P_{312} = 1

서로 다른 행의 순서를 홀수번 바꾸면 행렬식의 부호가 반대가 되므로,

det⁡P132=det⁡P213=det⁡P321=−1 \det P_{132} = \det P_{213} = \det P_{321} = -1

같은 행이 두 개 이상 있는 행렬의 행렬식은 00이므로 나머지의 경우 전부 00이다. 따라서 det⁡Pijk=ϵijk\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}가 성립한다. 하나의 인덱스가 같은 두 레비-치비타 심볼의 곱은, 행렬식의 성질을 잘 사용하면, 다음과 같다.

ϵijkϵilm=det⁡[— ei —— ej —— ek —]det⁡[— ei —— el —— em —]=det⁡[— ei —— ej —— ek —]det⁡[∣∣∣eielem∣∣∣](∵det⁡A=det⁡AT)=det⁡([— ei —— ej —— ek —][∣∣∣eielem∣∣∣])(∵(det⁡A)(det⁡B)=det⁡(AB))=det⁡[ei⋅eiei⋅elei⋅emej⋅eiej⋅elej⋅emek⋅eiek⋅elek⋅em] \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{l} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{m} \text{ —} \end{bmatrix} \\ &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} & (\because \det A = \det A^{T}) \\ &= \det \left( \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right) & \Big(\because (\det A) (\det B) = \det (AB) \Big) \\ &= \det \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{m} \end{bmatrix} \end{align*}

ei\mathbf{e}_{i}는 표준단위벡터이므로, ei⋅ej=δij\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j} = \delta_{ij}가 성립한다.

ϵijkϵilm=det⁡[δiiδilδimδjiδjlδjmδkiδklδkm] \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} \delta_{ii} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{ji} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{ki} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix}

이때 우리는 ii가 j,k,l,mj, k, l, m과 모두 다른 경우에 대해서만 생각하고 있음에 유의하자. 왜냐하면 j,k,l,mj, k, l, m 중 하나라도 ii와 같다면 ϵijkϵilm=0\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = 0이므로 의미 없는 결과이기 때문이다. 그러므로 결과는

ϵijkϵilm=det⁡[1000δjlδjm0δklδkm]=δjlδkm−δjmδkl \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ 0 & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}

■

(b)

(a) 에서 l=jl=j인 경우이다. 따라서 다음과 같다.

ϵijkϵijm=δjjδkm−δjmδkj \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj}

이때 δjj=3\delta_{jj}=3, 그리고 δjmδkj=δmk\delta_{jm}\delta_{kj}=\delta_{mk}가 성립하므로 다음과 같다.

ϵijkϵijm=δjjδkm−δjmδkj=3δkm−δmk=2δkm \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} = 3\delta_{km} - \delta_{mk} = 2\delta_{km}

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(c)

(b) 에서 m=km=k인 경우이므로,

ϵijkϵijk=∑k=132δkk=2δ11+2δ22+2δ33=2+2+2=6 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = \sum_{k=1}^{3}2\delta_{kk} = 2\delta_{11} + 2\delta_{22} + 2\delta_{33} = 2 + 2 + 2 = 6

혹은 단순하게 00이 아닌 모든 항을 풀어서 쓰면 다음을 얻는다.

ϵijkϵijk=∑i=13∑j=13∑k=11ϵijkϵijk=ϵ123ϵ123+ϵ231ϵ231+ϵ312ϵ312+ϵ132ϵ132+ϵ213ϵ213+ϵ321ϵ321=6 \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=\sum \limits _{i=1} ^{3}\sum \limits _{j=1} ^{3}\sum \limits _{k=1} ^{1} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \\ &=\epsilon_{123}\epsilon_{123}+\epsilon_{231}\epsilon_{231}+\epsilon_{312}\epsilon_{312}+\epsilon_{132}\epsilon_{132}+\epsilon_{213}\epsilon_{213}+\epsilon_{321}\epsilon_{321} \\ &=6 \end{align*}

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