📂동역학

동역학에서의 이력 현상

정의

파라미터의 변화에 따라 일어나는 동역학계의 변화가 비가역적^irreversible인 현상을 이력 현상^hysteresis라 한다¹.

설명

예로써 위와 같은 폴드 바이퍼케이션을 생각해보자. 상상하기 편하게 아예 $x$ 를 꿀벌의 개체수, $r$ 을 평균 기온이라고 하자. 바이퍼케이션 다이어그램을 보고 곧바로 알 수 있는 것은, 시스템이 최대 세 개의 고정점을 가지며 그 중 두 개의 안정된 고정점이 존재할 수 있어 꿀벌의 개체수가 둘 중 하나로 수렴한다는 것이다.

위기

개체수가 상대적으로 많은 $x_{2}$ 인 상태에서 지구온난화로 기온 $r = r(t)$ 가 조금씩 증가한다고 생각해보자. 그러면 처음엔 아주 느린 속도로 안정된 고정점 $x_{2} = x_{2} (r)$ 의 값 자체가 작아지다가, 터닝포인트 $r_{2}$ 를 넘기면서 $x_{2}$ 가 사라지고 $x_{1}$ 로 수렴해 급격한 개체수 붕괴로 이어진다. 이렇게 특정 수치가 급격하게 변하거나 캐어릭하게 바뀌는 것을 위기^crisis 혹은 카타스트로피^catastrophe라 하기도 한다.

회복

반면 이미 위기를 겪고 난 후에 $r$ 이 감소하면서 터닝포인트 $r_{2}$ 를 지나도 원래의 상태로는 곧바로 돌아갈 수 없다. 이미 개체수가 상대적으로 적은 $x_{1}$ 근처에 있기 때문에―다시 말해 이미 개체수 $x(t)$ 가 $\left\{ x_{1} \right\}$ 의 베이신에 속하기 때문에 터닝포인트 $r_{1}$ 를 지나는 극단적인 변화가 아니고선 계속 낮은 개체수 $x_{1}$ 에 머물 수 밖에 없는 것이다. 이러한 점에서 우리는 이 시스템에서 $r$ 이 움직이는 방향에 따라 단순하고 자유롭게 변하는 게 아닌, 터닝 포인트 전후의 비가역성을 발견할 수 있었고 이를 이력 현상이라 부르는 것이다.

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