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실수체로 복소수체를 만들어내는 대수적인 방법 📂추상대수

실수체로 복소수체를 만들어내는 대수적인 방법

정리 1

R[x]/<x2+1>≃C \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C}

설명

팩트로만 보면 당연하고 실수체에서 복소수체를 만들어내는 과정이 상당히 아름답다.

R[x]\mathbb{R} [x ] 를 <x2>\left< x^2 \right> 로 자르든 <x2+x>\left< x^2 + x \right> 로 자르든 원소의 모양새는 ax+bax + b 꼴로 나오겠지만 하필 <x2+1>\left< x^2 + 1 \right> 로 자르는 이유가 있다. 적어도 한 번은 직접 증명해보면서 이 아름다움을 만끽하도록 하자.

증명

(x2+1)\left( x^2 + 1 \right) 은 FF 상에서의 기약원이므로 <x2+1>\left< x^2 + 1 \right> 은 R[x]\mathbb{R} [ x ] 의 극대 아이디얼이고, 따라서 R[x]/<x2+1>\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> 은 체다.

R\mathbb{R} 의 확대체 R[x]/<x2+1>\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> 는 그 원소로써 (ax+b)+<x2+1>(ax + b) + \left< x^2 + 1 \right> 와 같은 잉여류를 원소로 갖는다. 이 모든 원소가 a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} 와 어떤 α\alpha 에 대해 a+bαa + b \alpha 와 같이 나타날 수 있으므로 R[x]/<x2+1>=R(α) \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> = \mathbb{R} ( \alpha ) 는 단순확대체다.

구체적으로 α:=x+<x2+1>\alpha := x + \left< x^2 + 1 \right> 라고 해보면 α2=(x+<x2+1>)2  ⟹  α2+1=(x2+<x2+1>)+(1+<x2+1>)  ⟹  α2+1=(x2+1)+<x2+1>=<x2+1>=0+<x2+1> \begin{align*} & \alpha^2 = \left( x + \left< x^2 + 1 \right> \right)^2 \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + \left< x^2 + 1 \right> \right) + \left( 1 + \left< x^2 + 1 \right> \right) \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + 1 \right) + \left< x^2 + 1 \right> = \left< x^2 + 1 \right> = 0 + \left< x^2 + 1 \right> \end{align*} α\alpha 는 (x2+1)\left( x^2 + 1 \right) 의 영이므로 사실상 α\alpha 가 허수 ii 와 같은 역할을 하게 되고, 다음이 성립한다. R(α)≃C \mathbb{R} ( \alpha ) \simeq \mathbb{C}

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p272. ↩︎