주기 함수의 라플라스 변환
공식
$f$를 주기가 $T$인 주기함수라고 하자. 그러면 $f(t+T)=f(t)$이고 $f(t)$의 라플라스 변환은 아래와 같다.
$$ \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \frac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-st}} $$
유도
라플라스 변환의 정의에서, 적분을 다음과 같이 쪼개자.
$$ \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt + \int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt + \cdots $$
이 때 두번째 항의 적분 범위를 첫번째 항과 같게 해주기 위해서 $t=t^{\prime}+T$로 치환하자. 그러면
$$ \int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^T e^{-s(t^{\prime}+T)}f(t^{\prime}+T)dt^{\prime} $$
$f$는 주기가 $T$인 주기함수 이므로 $f(t^{\prime}+T)=f(t^{\prime})$이고 상수를 앞으로 빼주면 아래와 같은 모양으로 정리된다.
$$ e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st^{\prime}}f(t^{\prime})dt^{\prime}=e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt $$
세번째 항과 그 이후도 마찬가지로 $t=t^{\prime}+2T, t=t^{\prime}+3T, \cdots$처럼 치환하면 같은 방식으로 정리할 수 있다. 그러면 $f(t)$의 라플라스 변환은 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align*} & \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt \\ &= \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-2sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \cdots \\ &= \left( 1+e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots \right) \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt \end{align*} $$
$|r|<1$일 때,
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}} $$
앞에서 묶어낸 항을 무한등비급수공식으로 나타내면 아래와 같다.
$$ \frac{1}{1-e^{-sT}} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-sT}} $$
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