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주기 함수의 라플라스 변환 📂상미분방정식

주기 함수의 라플라스 변환

공식

ff를 주기가 TT인 주기함수라고 하자. 그러면 f(t+T)=f(t)f(t+T)=f(t)이고 f(t)f(t)의 라플라스 변환은 아래와 같다.

L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=∫0Te−stf(t)dt1−e−st \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \frac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-st}}

유도

라플라스 변환의 정의에서, 적분을 다음과 같이 쪼개자.

∫0∞e−stf(t)dt=∫0Te−stf(t)dt+∫T2Te−stf(t)dt+∫2T3Te−stf(t)dt+⋯ \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt + \int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt + \cdots

이 때 두번째 항의 적분 범위를 첫번째 항과 같게 해주기 위해서 t=t′+Tt=t^{\prime}+T로 치환하자. 그러면

∫T2Te−stf(t)dt=∫0Te−s(t′+T)f(t′+T)dt′ \int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^T e^{-s(t^{\prime}+T)}f(t^{\prime}+T)dt^{\prime}

ff는 주기가 TT인 주기함수 이므로 f(t′+T)=f(t′)f(t^{\prime}+T)=f(t^{\prime})이고 상수를 앞으로 빼주면 아래와 같은 모양으로 정리된다.

e−sT∫0Te−st′f(t′)dt′=e−sT∫0Te−stf(t)dt e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st^{\prime}}f(t^{\prime})dt^{\prime}=e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt

세번째 항과 그 이후도 마찬가지로 t=t′+2T,t=t′+3T,⋯t=t^{\prime}+2T, t=t^{\prime}+3T, \cdots처럼 치환하면 같은 방식으로 정리할 수 있다. 그러면 f(t)f(t)의 라플라스 변환은 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

∫0∞e−stf(t)dt=∫0Te−stf(t)dt+e−sT∫0Te−stf(t)dt+e−2sT∫0Te−stf(t)dt+⋯=(1+e−sT+e−2sT+⋯ )∫0Te−stf(t)dt \begin{align*} & \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt \\ &= \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-2sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \cdots \\ &= \left( 1+e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots \right) \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt \end{align*}

무한등비급수

∣r∣<1|r|<1일 때,

∑n=1∞arn−1=a1−r \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}}

앞에서 묶어낸 항을 무한등비급수공식으로 나타내면 아래와 같다.

11−e−sT \frac{1}{1-e^{-sT}}

따라서 다음을 얻는다.

∫0∞e−stf(t)dt=∫0Te−stf(t)dt1−e−sT \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-sT}}

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