t^{n}f(t)의 라플라스 변환
📂상미분방정식t^{n}f(t)의 라플라스 변환
공식
함수 f(t)의 라플라스 변환이 L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=F(s)라고 하자. 그러면 tnf(t)의 라플라스 변환은 다음과 같다.
L{tnf(t)}=(−1)nF(n)(s)
유도
우선 tnf(t)의 라플라스 변환은 정의에 의해 다음과 같다.
∫0∞e−sttf(t)dt
적분 안을 잘 살펴보면 e−stf(t)를 s에 대해 미분한 것과 같다는 것을 알 수 있다.
dsd(e−stf(t))=e−st(−t)f(t)
따라서
dsdF(s)=∫0∞dsd(e−stf(t))dt=∫0∞e−st(−t)f(t)dt
⟹−F′(s)=L{tf(t)}
s에 대한 미분을 반복하면 다음의 결과를 얻는다.
⟹⟹⟹−F′(s)F′′(s)−F(3)(s)(−1)nF(n)(s)=∫0∞e−st(t)f(t)dt=L{tf(t)}=∫0∞e−st(t2)f(t)dt=L{t2f(t)}=∫0∞e−st(t3)f(t)dt=L{t3f(t)}⋮=∫0∞e−st(tn)f(t)dt=L{tnf(t)}
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예시
1
f(t)=tsint라고 하자. L{sint}=s2+11이므로
L{tsint}=(s2+1)2−2s
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2
f(t)=teatcosbt라고 하자. L{eatcosbt}=(s−a)2+b2s이므로
L{teatcosbt}=((s−a)2+b2)4(s−a)2+b2−2(s−a)s
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