📂바나흐공간

바나흐 공간

정의¹

완비 놈 공간을 바나흐 공간^{banach space}이라 한다.

설명

완비 공간이란, 모든 코시수열이 수렴하는 공간을 말한다.

바나흐 스페이스는 아래의 각 호를 모두 만족시킨 공간으로써 거리 함수가 정의되는데다 완비성을 갖춰 아주 유용한 공간이다.

• 벡터 공간이다.
• 놈 공간이다. $\implies$ 거리 공간이다.
• 완비 공간이다.

한편 바나흐 공간의 예로써 정의역이 폐구간인 연속함수들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 매우 간단한 예시인 동시에 여러가지 중요한 정리들을 지탱해줘서 아주 중요한 팩트이기도 하다. 바나흐 공간의 예로 다음의 것들이 있다.

• $C[a,b]$
• $\R^{n}$
• $\mathbb{C}^{n}$

$C[a,b]$에 대한 증명을 소개한다.

증명 ¹

• Part 1. 벡터 공간

  폐구간에서 정의된 연속함수는 상수함수 $f(x) = 0$ 을 항등원으로써 가지고 $f(x) = - f(x)$ 를 역원으로써 갖는다. 이 외에도 $C[a,b]$ 는 스칼라 필드 $\mathbb{R}$상에서 벡터 스페이스의 조건들을 잘 만족한다.

• Part 2. 놈 공간

  $f \in C [a,b]$ 에 대해 $\| \cdot \|$ 을 $\displaystyle \| f \| := \sup_{ a \le t \le b } | f (t) |$ 와 같이 정의하면 놈의 조건들을 잘 만족한다.

• Part 3. 완비성

  $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 $C [a,b]$ 의 코시 수열이라고 하자. 다시 말해, 모든 $\varepsilon / 3 > 0$ 에 대해 $n,m > N_{1}$ 일 때마다 $\| f_{n} (t) - f_{m} (t) \| < \varepsilon / 3$ 을 만족하는 $N_{1} \in \mathbb{N}$ 이 존재한다.

  $\mathbb{R}$ 은 완비공간이므로 고정된 $t_{0} \in [a,b]$ 가 주어질 때마다 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} (t_{0})$ 는 어떤 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 에 대해

  $$\lim_{n \to \infty} f_{n} ( t_{0} ) = f ( t_{0} )$$

  와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 $f_{n}$ 는 코시 수열이므로 임의의 $t \in [a,b]$ 에 대해 $m \ge N_{2}$ 일 때

  $$\begin{align*} | f(t) - f_{m} (t) | =& \left| \lim_{n \to \infty} f_{n} (t) - f_{m} (t) \right| \\ =& \lim_{n \to \infty} | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ \le & \lim_{n \to \infty} \sup_{t \in [a,b] } | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ =& \lim_{n \to \infty} \| f_{n} - f_{m} \| \\ <& \varepsilon / 3 \end{align*}$$

  를 만족하는 $N_{2}$ 가 존재한다. 물론 함수 $f$ 가 연속함수라는 보장은 아직 없으며, 단지 모든 $t \in [a,b]$ 에 대해 결국 $f_{n} (t)$ 이 수렴하는 값을 함수값으로 가지게끔 정의되었을 뿐이다. 그러나 이러한 정의에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴, 즉 모든 $x,y \in [a,b]$ 그리고 $\varepsilon / 3 > 0$ 에 대해 $n \ge N_{3}$ 일 때 다음을 동시에 만족시키는 $N_{3} \in \mathbb{N}$ 이 존재함을 보장할 수 있다.

  $$\left| f_{n} (x) - f(x) \right| < \varepsilon / 3 \\ \left| f_{n} (y) - f(y) \right| < \varepsilon / 3$$

  이제 $f$ 가 연속함수인 것을 보이면 된다.

  공집합이 아닌 $E \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $f : E \to \mathbb{R}$ 라고 하자.

  컴팩트 거리공간

  $f$ 가 연속이고 $E$가 유계 폐구간이면 $f$ 는 균등연속이다.

  $f_{n} : [a,b] \to \mathbb{R}$ 은 연속이고 $[a,b] \subset \mathbb{R}$ 은 컴팩트하므로 $f_{n}$ 은 $[a,b]$ 에서 균등연속이다. 즉 모든 $x,y \in [a,b]$ 그리고 $\varepsilon / 3 > 0$ 에 대해 $|x-y| < \delta$ 일 때 다음을 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재함을 보장할 수 있다.

  $$\left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| < \varepsilon / 3$$

  위의 결과들을 종합하면 $|x-y| < \delta$ 그리고 $n \ge N_{3}$ 일 때

  $$\begin{align*} |f(x) - f(y)| \le & \left| f (x) - f_{n} (x) \right| + \left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| + \left| f_{n} (y) - f(y) \right| \\ =& \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 \\ =& \varepsilon \end{align*}$$

  를 만족하는 $\delta > 0$ 와 $N_{3} \in \mathbb{N}$ 가 존재하므로, $f$ 는 $[a,b]$ 에서 균등연속이고 $f \in C[a,b]$ 다. 임의의 연속함수들의 코시수열 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 유니폼하게 어떤 $f \in C[a,b]$ 에 수렴하므로 $C[a,b]$ 는 완비성을 가진다.

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