📂행렬대수

양정부호 행렬의 실수 거듭제곱

정의

양정부호인 행렬 $A \ge 0$ 와 실수 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 $A$ 의 $t$-거듭제곱^$t$-power을 다음과 같이 정의한다. $$A^{t} := \exp \left( t \log A \right)$$ 여기서 $\exp$ 와 $\log$ 는 각각 행렬 지수와 행렬 로그다.

설명

일반적으로 행렬의 거듭제곱 $A^{t}$ 은 자연수 $t \in \mathbb{N}$ 에 대해 행렬곱을 $t$번 취하는 것으로 정의되고, $A$ 가 가역행렬인 경우 역행렬 $A^{-1}$ 가 존재해서 정수 $t \in \mathbb{Z}$ 에 대해 일반화될 수 있다.

여기에 한 발 더 나아가, $A$ 가 양정부호 행렬인 경우 그 행렬 로그 $\log A$ 가 존재하고 모든 고유값이 양수기 때문에 $A^{t}$ 를 실수 $t$ 에 대해 자연스럽게 일반화할 수 있다. 모든 고유값이 양수라는 것과 $A^{t}$ 의 존재성이 어떤 관계가 있는지는 다음의 정리의 증명 과정에서 쉽게 납득할 수 있을 것이다.

정리

양정부호 행렬 $A$ 와 실수 $t$ 에 대해 $A^{t}$ 가 유일하게 존재한다.

증명

에르미트 행렬 공간과 양정부호 행렬의 컨벡스 셋을 각각 $\mathbb{H}_{n}$ 과 $\mathbb{P}_{n}$ 이라 나타도록 하자. $t$ 가 실수로 가정된만큼 증명 과정에서 함부로 $e^{t E} = e^{t} e^{E}$ 와 같은 연산을 사용할 수 없음에 주의하라.

보조정리 1: 행렬 지수의 유니터리 대각화

스펙트럴 이론: $A$ 가 에르미트 행렬인 것과 유니터리 대각화 가능한 것은 동치다: $$A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast}$$

에르미트 행렬 $X \in \mathbb{H}_{n}$ 은 스펙트럴 이론에 의해 $X = Q D Q^{\ast}$ 로 대각화할 수 있다. 이때 $Q$ 는 유니터리 행렬이고, $D$ 는 $A$ 의 고유값으로 이루어진 대각행렬이다. 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*} \exp X =& e^{X} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Q D^{k} Q^{\ast} \\ =& Q \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} D^{k} \right] Q^{\ast} \\ =& Q e^{D} Q^{\ast} \end{align*}$$

보조정리 2: 행렬과 행렬 지수의 고유값

$X = Q D Q^{\ast}$ 의 고유값들을 $d_{1} , \cdots , d_{n}$ 이라 나타내면, 다시 말해 $\exp X = Q e^{D} Q^{\ast}$ 에서 $D = \diag \left( d_{1} , \cdots , d_{n} \right)$ 라고 두면 다음이 성립한다. $$\begin{align*} e^{X} =& Q \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{ 1 }{ k! }} \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & d_{n} \end{bmatrix}^{k} Q^{\ast} \\ =& Q \begin{bmatrix} \sum_{k} d_{1}^{k} / k! & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \sum_{k} d_{n}^{k} / k! \end{bmatrix} Q^{\ast} \\ =& Q \begin{bmatrix} e^{d_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{d_{n}} \end{bmatrix} Q^{\ast} \end{align*}$$ 다음의 필요충분조건을 같은 방법으로 유도할 수 있다. $$X = Q \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & d_{n} \end{bmatrix} Q^{\ast} \iff e^{X} = Q \begin{bmatrix} e^{d_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{d_{n}} \end{bmatrix} Q^{\ast}$$

구체적인 형태

양정부호 행렬 $A$ 에 행렬 로그 $\log : \mathbb{P}_{n} \to \mathbb{H}_{n}$ 를 취한 $\log A$ 는 에르미트 행렬이므로 마찬가지로 $$t \cdot \log A = t \cdot U E U^{\ast} = U \left[ t E \right] U^{\ast}$$ 와 같은 유니터리 대각화가 가능하다. $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$ 을 $A$ 의 고유값이라 하면 여기서 $E$ 는 그 고유값 각각에 로그를 취하고 대각행렬로 둔 $\diag \left( \log \lambda_{1}, \cdots, \log \lambda_{n} \right)$ 이고, 구체적인 $A^{t}$ 의 꼴을 확인할 수 있다. $$\begin{align*} A^{t} =& \exp \left( t \log A \right) \\ =& U e^{t E} U^{\ast} & \because \text{Lemma 1} \\ =& U \begin{bmatrix} e^{t \log \lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{t \log \lambda_{n}} \end{bmatrix} U^{\ast} & \because \text{Lemma 2} \\ =& U \begin{bmatrix} \lambda_{1}^{t} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{n}^{t} \end{bmatrix} U^{\ast} \end{align*}$$

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증명과정에서 $A^{t}$ 의 존재성은 스펙트럴 이론과 행렬 로그가 전단사라는 점을 통해 확인할 수 있고, 대각행렬이 양수의 거듭제곱으로 깔끔하게 나타나서 다른 $A^{t}$ 가 존재할 수 없음을 확인할 수 있다. 예로써 양정부호 행렬 $A$ 의 제곱근 행렬 $\sqrt{A}$ 는 유일하게 존재할 것이다.

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