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카르노 기관 📂열물리학

카르노 기관

정의

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다음 네 가지 과정을 순서대로 수행하는 기관을 카르노 기관Carnot engine이라 한다.

  • Step 1. 등온 팽창 과정 A→BA \to B:
    온도가 ThT_{h}로 유지된 상태에서 열에너지 QhQ_{h}를 받아 부피가 VAV_{A}에서 VBV_{B}로 증가한다.

  • Step 2. 단열 팽창 과정 B→CB \to C:
    열이 유지된 상태에서 부피가 VBV_{B}에서 VCV_{C}로 증가해서 온도가 ThT_{h}에서 TlT_{l}로 감소한다.

  • Step 3. 등온 수축 과정 C→DC \to D:
    온도가 TlT_{l}로 유지된 상태에서 열에너지 QlQ_{l} 를 내보내 부피가 VCV_{C}에서 VDV_{D}로 감소한다.

  • Step 4. 단열 수축 과정 D→AD \to A:
    열이 유지된 상태에서 부피가 VDV_{D}에서 VAV_{A}로 감소해서 온도가 TlT_{l}에서 ThT_{h}로 증가한다.

정리

열 효율

카르노 기관의 열 효율은 다음과 같다. η=1−QlQh=1−TlTh \eta = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}}

따름 정리

A→B:Qh=RThln⁡VBVAB→C:ThTl=(VCVB)γ−1C→D:Ql=RTlln⁡VDVCD→A:TlTh=(VAVD)γ−1 \begin{align*} A \to B :\quad& Q_{h} = R T_{h} \ln {\frac{ V_{B} }{ V_{A} }} \\ B \to C :\quad& {\frac{ T_{h} }{ T_{l} }} = \left( {\frac{ V_{C} }{ V_{B} }} \right)^{\gamma - 1} \\ C \to D :\quad& Q_{l} = R T_{l} \ln {\frac{ V_{D} }{ V_{C} }} \\ D \to A :\quad& {\frac{ T_{l} }{ T_{h} }} = \left( {\frac{ V_{A} }{ V_{D} }} \right)^{\gamma - 1} \end{align*} 그 뿐만 아니라, 다음을 얻는다. VBVA=VCVDQhQl=ThTl \begin{align*} \dfrac{V_{B}}{V_{A}} =& \dfrac{V_{C}}{V_{D}} \\ \dfrac{Q_{h}}{Q_{l}} =& \dfrac{T_{h}}{T_{l}} \end{align*}

설명

두 번의 등온 과정과 두 번의 단열 과정을 처리할 뿐이지만 어떤 복잡한 기관보다도 효율이 높은 기관이다. 사실 이러한 설계는 이론적으로만 의미가 있을 뿐 실제 열기관들의 효율은 카르노 기관에 훨씬 못 미친다. 이렇게 쓸 일 없는 카르노 기관이 중요한 이유는 카르노 기관의 효율이 그냥 좋은 게 아니라 가장 좋기 때문이다.

증명

여기서 모든 과정은 이상기체에 대한 것임을 가정한다.

열역학 제1법칙

dU=δQ+δW d U = \delta Q + \delta W

모든 과정을 한 번씩 수행했을 때 내부 에너지의 변화는 00이므로 열역학 제1법칙에 의해 다음이 성립한다.

−δW=δQ -\delta W = \delta Q

따라서 카르노 기관이 한 주기동안 외부에 한 일은 다음과 같다.

W=Qh−Ql W = Q_{h} - Q_{l}

카르노 기관을 도식으로 나타내면 아래와 같다.

99ABE2395B580B1E15.png

단열 과정

pVγp V^{\gamma}은 상수다.

이상기체 방정식에서 p∝TVp \propto \dfrac{T}{V}이므로 pVγ∝TVγ−1pV^{\gamma} \propto T V^{\gamma - 1} 역시 상수다. B→CB \to C 는 단열 과정이므로 다음이 성립한다.

ThVBγ−1TlVCγ−1=1 { { T_{h} V_{B}^{\gamma - 1} } \over {T_{l} V_{C}^{\gamma - 1}} } = 1

정리하면 다음을 얻는다.

ThTl=(VCVB)γ−1 {{T_{h} } \over {T_{l} }} = \left( \dfrac{V_{C}}{V_{B}} \right)^{\gamma - 1}

D→AD \to A 도 단열 과정이므로 다음이 성립한다.

TlVDγ−1ThVAγ−1=1 { { T_{l} V_{D}^{\gamma - 1} } \over {T_{h} V_{A}^{\gamma - 1}} } = 1

정리하면 다음을 얻는다.

(VDVA)γ−1=ThTl \left( \dfrac{V_{D}}{V_{A}} \right)^{\gamma - 1} = {{T_{h} } \over {T_{l} }}

따라서 VDVA=VCVB\dfrac{V_{D}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{B}}이고, 정리하면 다음을 얻는다.

VBVA=VCVD \begin{equation} \dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}} \label{eq1} \end{equation}

등온 과정

ΔQ=RTln⁡V2V1 \Delta Q = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}}

A→BA \to B 은 등온 과정이므로 다음을 얻는다.

Qh=RThln⁡VBVA \begin{equation} Q_{h} = RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} \label{eq2} \end{equation}

C→DC \to D 도 등온 과정이므로 다음을 얻는다.

Ql=RTlln⁡VCVD Q_{l} = RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}}

(eq1)\eqref{eq1}에서 VBVA=VCVD\dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}}였으므로 이를 (eq2)\eqref{eq2} 에 대입하여 다음을 얻는다.

QhQl=RThln⁡VBVARTlln⁡VCVD=Thln⁡VCVDTlln⁡VCVD=ThTl \dfrac{Q_{h}}{Q_{l}} = \dfrac{ RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} }{ RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{ T_{h} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} }{ T_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{T_{h}}{T_{l}} 그러므로 카르노 기관의 효율은 다음과 같다.

η=WQh=Qh−QlQh=1−QlQh=1−TlTh \eta = {{W} \over {Q_{h}}} = {{Q_{h} - Q_{l} } \over {Q_{h}}} = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}}

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