카르노 기관
정의
다음 네 가지 과정을 순서대로 수행하는 기관을 카르노 기관Carnot engine이라 한다.
Step 1. 등온 팽창 과정 $A \to B$:
온도가 $T_{h}$로 유지된 상태에서 열에너지 $Q_{h}$를 받아 부피가 $V_{A}$에서 $V_{B}$로 증가한다.Step 2. 단열 팽창 과정 $B \to C$:
열이 유지된 상태에서 부피가 $V_{B}$에서 $V_{C}$로 증가해서 온도가 $T_{h}$에서 $T_{l}$로 감소한다.Step 3. 등온 수축 과정 $C \to D$:
온도가 $T_{l}$로 유지된 상태에서 열에너지 $Q_{l}$ 를 내보내 부피가 $V_{C}$에서 $V_{D}$로 감소한다.Step 4. 단열 수축 과정 $D \to A$:
열이 유지된 상태에서 부피가 $V_{D}$에서 $V_{A}$로 감소해서 온도가 $T_{l}$에서 $T_{h}$로 증가한다.
정리
열 효율
카르노 기관의 열 효율은 다음과 같다. $$ \eta = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}} $$
따름 정리
$$ \begin{align*} A \to B :\quad& Q_{h} = R T_{h} \ln {\frac{ V_{B} }{ V_{A} }} \\ B \to C :\quad& {\frac{ T_{h} }{ T_{l} }} = \left( {\frac{ V_{C} }{ V_{B} }} \right)^{\gamma - 1} \\ C \to D :\quad& Q_{l} = R T_{l} \ln {\frac{ V_{D} }{ V_{C} }} \\ D \to A :\quad& {\frac{ T_{l} }{ T_{h} }} = \left( {\frac{ V_{A} }{ V_{D} }} \right)^{\gamma - 1} \end{align*} $$ 그 뿐만 아니라, 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \dfrac{V_{B}}{V_{A}} =& \dfrac{V_{C}}{V_{D}} \\ \dfrac{Q_{h}}{Q_{l}} =& \dfrac{T_{h}}{T_{l}} \end{align*} $$
설명
두 번의 등온 과정과 두 번의 단열 과정을 처리할 뿐이지만 어떤 복잡한 기관보다도 효율이 높은 기관이다. 사실 이러한 설계는 이론적으로만 의미가 있을 뿐 실제 열기관들의 효율은 카르노 기관에 훨씬 못 미친다. 이렇게 쓸 일 없는 카르노 기관이 중요한 이유는 카르노 기관의 효율이 그냥 좋은 게 아니라 가장 좋기 때문이다.
증명
여기서 모든 과정은 이상기체에 대한 것임을 가정한다.
$$ d U = \delta Q + \delta W $$
모든 과정을 한 번씩 수행했을 때 내부 에너지의 변화는 $0$이므로 열역학 제1법칙에 의해 다음이 성립한다.
$$ -\delta W = \delta Q $$
따라서 카르노 기관이 한 주기동안 외부에 한 일은 다음과 같다.
$$ W = Q_{h} - Q_{l} $$
카르노 기관을 도식으로 나타내면 아래와 같다.
$p V^{\gamma}$은 상수다.
이상기체 방정식에서 $p \propto \dfrac{T}{V}$이므로 $pV^{\gamma} \propto T V^{\gamma - 1}$ 역시 상수다. $B \to C$ 는 단열 과정이므로 다음이 성립한다.
$$ { { T_{h} V_{B}^{\gamma - 1} } \over {T_{l} V_{C}^{\gamma - 1}} } = 1 $$
정리하면 다음을 얻는다.
$$ {{T_{h} } \over {T_{l} }} = \left( \dfrac{V_{C}}{V_{B}} \right)^{\gamma - 1} $$
$D \to A$ 도 단열 과정이므로 다음이 성립한다.
$$ { { T_{l} V_{D}^{\gamma - 1} } \over {T_{h} V_{A}^{\gamma - 1}} } = 1 $$
정리하면 다음을 얻는다.
$$ \left( \dfrac{V_{D}}{V_{A}} \right)^{\gamma - 1} = {{T_{h} } \over {T_{l} }} $$
따라서 $\dfrac{V_{D}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{B}}$이고, 정리하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} \dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}} \label{eq1} \end{equation} $$
$$ \Delta Q = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} $$
$A \to B$ 은 등온 과정이므로 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} Q_{h} = RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} \label{eq2} \end{equation} $$
$C \to D$ 도 등온 과정이므로 다음을 얻는다.
$$ Q_{l} = RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} $$
$\eqref{eq1}$에서 $\dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}}$였으므로 이를 $\eqref{eq2}$ 에 대입하여 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{Q_{h}}{Q_{l}} = \dfrac{ RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} }{ RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{ T_{h} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} }{ T_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{T_{h}}{T_{l}} $$ 그러므로 카르노 기관의 효율은 다음과 같다.
$$ \eta = {{W} \over {Q_{h}}} = {{Q_{h} - Q_{l} } \over {Q_{h}}} = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}} $$
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