📂추상대수

등방부분군

정의 ¹

군 $G$ 에 대해 $X$ 를 $G$-집합이라고 하자. $x \in X$ 와 $g \in G$ 에 대해 $X_{g} := \left\{ x \in X \ | \ gx = x \right\}$ 그리고 $G_{x} := \left\{ g \in G \ | \ gx = x \right\}$ 라 두자. $G_{x}$ 를 $x$ 에 대한 $G$ 의 등방부분군^{isotropy Subgroup}이라 정의한다.

설명

등방부분군이 뭔지 감을 잡으려면 군의 작용에 대한 이해가 있어야한다.

위 그림 좌측의 점들과 선들의 집합 $$X : = \left\{ 1,2,3,4 , C, p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} , s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} , d_{1}, d_{2} , m_{1} , m_{2} \right\}$$ 에 대해 정이면체군 $G = D_{4}$ 을 생각해보자. $X$ 는 $D_{4}$-집합이 된다. 쉽게 말해서 $X_{g}$ 는 $g$ 에 영향을 받지 않는 집합, $G_{x}$ 는 $x$ 에 영향을 주지 못하는 부분군이 된다. 여기서 $C$ 는 $X$ 의 중심, $\rho_{0}$ 는 $G$ 의 항등원으로써 모든 $x,g$ 에 대해 $C \in X_{g}$ 와 $\rho_{0} \in G_{x}$ 이 성립한다.

아래의 예시들이 실제로 위의 그림과 맞아 떨어지는지 확인해보도록 하자: $$\begin{align*} X_{\rho_{0}} =& X \\ X_{\rho_{1}} =& C \\ X_{\mu_{1}} =& \left\{ C, p_{1}, p_{3} , s_{1} , s_{3} , m_{1} , m_{2} \right\} \\ G_{1} =& \left\{ \rho_{0} , \delta_{2} \right\} \\ G_{s_{3}} =& \left\{ \rho_{0} , \mu_{1} \right\} \\ G_{d_{1} } =& \left\{ \rho_{0} , \rho_{2} , \delta_{1} , \delta_{2} \right\} \end{align*}$$ 여기에 $x_{1} , x_{2} \in X$ 에 대해 $g x_{1} = x_{2}$ 를 만족하는 $g \in G$ 가 존재할 때, 동치관계 $x_{1} \sim x_{2}$ 을 정의해보자. $x$ 가 $\sim$ 에 의한 분할의 셀Cell에 속하면 그 셀을 $x$ 의 궤도^orbit라 하고 $Gx$ 라 쓴다. 어려워보이지만 그냥 $X$ 는 $\left\{ C \right\} , \left\{ 1,2,3,4 \right\} , \left\{ p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} \right\} , \left\{ s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} \right\} , \left\{ d_{1}, d_{2} \right\} , \left\{ m_{1} , m_{2} \right\}$ 와 같이 쪼개진다는 말이다.

주의해야할 것은 $G_{x}$ 와 $Gx$ 가 첨자냐 아니냐로 구분된다는 것이다. 예를 들어 $G_{1}$ 은 $1$ 에 영향을 주지 못하는 등방부분군으로써 $G_{1} = \left\{ \rho_{0} , \delta_{2} \right\}$ 이고 $G1$ 은 $1$ 의 궤도로써 $G1 = \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ 다.

이제 일반적으로, 다음과 같은 정리를 생각해보자. 라그랑주 정리를 떠올리게 하는 모양새지만 유심히 표기를 살펴보면 별로 상관 없다.

정리

$X$ 가 $G$-집합이면 $|Gx| = ( G : G_{x})$ 이다. $G$ 가 유한군이면 $|Gx|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

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• $( G : G_{x})$ 는 $G_{x}$ 의 잉여류의 갯수고, $G / G_{x}$ 는 $G_{x}$ 의 잉여류들의 집합이다.

증명

$x_{1} \in Gx$ 라고 하면 $g_{1} x = x_{1}$ 를 만족하는 $g_{1} \in G$ 가 존재한다. $\psi : Gx \to G / G_{x}$ 를 $\psi (x_{1}) := g_{1} G_{x}$ 로 정의했을 때 $\psi$ 가 전단사임을 보이면 된다.

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Part 1. $\psi$ 는 함수다.

$g_{1} x = x_{1}$ 라고 할 때 $g_{1}’ x = x_{1}$ 를 만족하는 $g_{1} ' \in G_{x}$ 가 존재한다고 가정해보자. 그러면 $g_{1} x = g_{1}’ x$ 이고 $x = (g_{1}^{-1} g_{1} ’ ) x$ 이므로 $(g_{1}^{-1} g_{1} ’ ) \in G_{x}$ 이어야한다. 따라서 $g_{1} ' \in g_{1} G_{x}$ 이고, $g_{1} G_{x} = g_{1}’ G_{x}$ 이므로 $\psi$ 는 함수다.

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Part 2. $\psi$ 는 단사다.

$x_{1} , x_{2} \in Gx$ 이고 $\psi (x_{1} ) =\psi (x_{2} )$ 라 하면 $x_{1} =g_{1} x$ 와 $x_{2} = g_{2} x$ , 그리고 $g_{2} \in g_{1} G_{x}$ 를 만족하는 $g_{1} , g_{2} \in G$ 가 존재한다. 그러면 어떤 $g \in G_{x}$ 에 대해서 $g_{2} = g_{1} g$ 이고, $x_{2} = g_{2} x = g_{1} (g x) = g_{1} x = x_{1}$ 이다. $\psi (x_{1} ) =\psi (x_{2} ) \implies x_{1} = x_{2}$ 이므로 $\psi$ 는 단사다.

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Part 3. $\psi$ 는 전사다.

$G_{x}$ 의 잉여류 $g_{1} G_{x}$ 에 대해 $g_{1} x = x_{1}$ 면 $g_{1} G_{x} = \psi ( x_{1} )$ 다. 모든 $\psi ( x_{1} )$ 에 대해 $x_{1} \in Gx$ 이므로 $\psi$ 는 전사다.

위의 Part 1~3에서 $\psi$ 는 전단사임을 보였으므로 다음이 성립한다. $$| Gx | = |G / G_{x}| = ( G : G_{x} )$$

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Part 4.

만약 $|G| < \infty$ 면 $|G| = |G_{x} | (G : G_{x}) = |G_{x} | |Gx|$ 이므로 $|Gx|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

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