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등적 열용량과 등압 열용량 📂열물리학

등적 열용량과 등압 열용량

공식

몰 수가 11인 이상기체의 계에서 등적 열용량 CVC_{V}등압 열용량 CpC_{p} 에 대해 다음의 식이 성립한다.

Cp=CV+R=52R C_{p} = C_{V} + R = {{5} \over {2}} R

설명

등적 과정이냐 등압 과정이냐에 따른 열용량은 다를 뿐만이 아니라 수식적으로도 착착 맞아떨어지는 관계가 있다. 특히 γ:=CpCV\gamma := \dfrac{C_{p}}{C_{V}} 자체는 물리적으로 큰 의미가 없지만, 수식적으로 여기저기서 중요하게 쓰인다.

증명

  • Part 1. CV=UTC_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}임을 보인다

    열역학 제1법칙

    dU=δQ+δW d U = \delta Q + \delta W

    열역학 제1법칙에 의해 dU(T,V)dU(T,V)완전미분이고 다음이 성립한다.

    dU=UTdT+UVdV \begin{equation} dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV \label{eq1} \end{equation}

    마찬가지로 열역학 제1법칙으로부터 δW=pdV\delta W = - p d V가 성립하므로 다음을 얻는다.

    dU=δQ+δW=δQpdV    δQ=dU+pdV d U = \delta Q + \delta W = \delta Q - p dV \\ \implies \delta Q = d U + p d V

    (eq1)\eqref{eq1} 을 위 식에 대입하면 다음을 얻는다.

    δQ=dU+pdV=(UTdT+UVdV)+pdV=UTdT+(UV+p)dV \begin{align*} \delta Q =& d U + p d V \\ =& \left( \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV \right) + p d V \\ =& \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) dV \end{align*}

    양변을 dTdT 로 나누면 다음과 같다.

    δQdT=UT+(UV+p)dVdT \begin{equation} \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{\partial U}{\partial T} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} \label{eq2} \end{equation}

    이때 부피가 일정하면 dVdT=0\displaystyle {{dV} \over {dT} } = 0 이므로 다음을 얻는다.

    CV=QT=δQdT=UT \begin{equation} C_{V} = {{\partial Q} \over {\partial T}} = \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{\partial U}{\partial T} \label{eq3} \end{equation}

  • Part 2. CpC_{p}를 구한다

    (eq2)\eqref{eq2}(eq3)\eqref{eq3}를 대입하면 다음의 식을 얻는다.

    Cp=QT=UT+(UV+p)dVdT=CV+(UV+p)dVdT C_{p} = {{\partial Q} \over {\partial T}} = \dfrac{\partial U}{\partial T} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} = C_{V} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT}

  • Part 3. 내부에너지 UU 에 대해 전개한다

    기체분자들의 평균 운동에너지

    <EK>=32kBTr \left< E_{K} \right> = {{3} \over {2}} k_{B} \text{Tr}

    내부 에너지 UU 는 평균 에너지에 분자의 수 NN 을 곱하면 얻는다. 또한 NkB=nRNk_{B} = nR이 성립하므로 다음과 같다.

    U=32NkBT=32nRT U = \dfrac{3}{2} N k_{B} T = \dfrac{3}{2} nRT

    그런데 11몰에 대해서만 생각하므로 U=32RTU = \dfrac{3}{2}RT이다. 따라서 다음을 얻는다.

    UT=CV=32RUV=0 \begin{align*} \dfrac{\partial U}{\partial T} =& C_{V} = {{3} \over {2}} R \\ \dfrac{\partial U}{\partial V} =& 0 \end{align*}

    한편 이상기체 방정식에서 pV=RT    V=RTppV = RT \iff V = \dfrac{RT}{p}이므로 다음을 얻는다.

    VT=Rp \dfrac{\partial V}{\partial T} = \dfrac{R}{p}

    이 결과들을 (eq3)\eqref{eq3} 에 대입하면 다음을 얻는다.

    Cp=CV+(UV+p)dVdT=CV+(0+p)Rp=CV+R=52R C_{p} = C_{V} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} = C_{V} + ( 0 + p ) {{R} \over {p}} = C_{V} + R = { {5} \over {2}} R