등적 열용량과 등압 열용량
📂열물리학등적 열용량과 등압 열용량
공식
몰 수가 1인 이상기체의 계에서 등적 열용량 CV와 등압 열용량 Cp 에 대해 다음의 식이 성립한다.
Cp=CV+R=25R
설명
등적 과정이냐 등압 과정이냐에 따른 열용량은 다를 뿐만이 아니라 수식적으로도 착착 맞아떨어지는 관계가 있다. 특히 γ:=CVCp 자체는 물리적으로 큰 의미가 없지만, 수식적으로 여기저기서 중요하게 쓰인다.
증명
Part 1. CV=∂T∂U임을 보인다
열역학 제1법칙
dU=δQ+δW
열역학 제1법칙에 의해 dU(T,V) 는 완전미분이고 다음이 성립한다.
dU=∂T∂UdT+∂V∂UdV
마찬가지로 열역학 제1법칙으로부터 δW=−pdV가 성립하므로 다음을 얻는다.
dU=δQ+δW=δQ−pdV⟹δQ=dU+pdV
(eq1) 을 위 식에 대입하면 다음을 얻는다.
δQ===dU+pdV(∂T∂UdT+∂V∂UdV)+pdV∂T∂UdT+(∂V∂U+p)dV
양변을 dT 로 나누면 다음과 같다.
dTδQ=∂T∂U+(∂V∂U+p)dTdV
이때 부피가 일정하면 dTdV=0 이므로 다음을 얻는다.
CV=∂T∂Q=dTδQ=∂T∂U
Part 2. Cp를 구한다
(eq2) 에 (eq3)를 대입하면 다음의 식을 얻는다.
Cp=∂T∂Q=∂T∂U+(∂V∂U+p)dTdV=CV+(∂V∂U+p)dTdV
Part 3. 내부에너지 U 에 대해 전개한다
기체분자들의 평균 운동에너지
⟨EK⟩=23kBTr
내부 에너지 U 는 평균 에너지에 분자의 수 N 을 곱하면 얻는다. 또한 NkB=nR이 성립하므로 다음과 같다.
U=23NkBT=23nRT
그런데 1몰에 대해서만 생각하므로 U=23RT이다. 따라서 다음을 얻는다.
∂T∂U=∂V∂U=CV=23R0
한편 이상기체 방정식에서 pV=RT⟺V=pRT이므로 다음을 얻는다.
∂T∂V=pR
이 결과들을 (eq3) 에 대입하면 다음을 얻는다.
Cp=CV+(∂V∂U+p)dTdV=CV+(0+p)pR=CV+R=25R
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