📂열물리학

등온 대기에서 높이에 따른 기체 분자 수 공식

공식¹

기온 $T$가 일정하다고 할 때 높이 $h$에서 단위 부피 $V=1$당 기체분자의 수를 $N(h)$라고 하자. 기체분자의 질량이 $m$이고 중력가속도가 $g$ 면 다음의 식이 성립한다.

$$ N(h) = N(0) e^{- {{mgh} \over {k_{B} T}} } $$

설명

이 공식은 원래 열역학에선 별볼일 없지만, 유도하는 두 가지 방법이 판이하게 다른 점이 재미있다.

유도

미분방정식을 이용하여

높이 $h$에서 $h + dh$까지의 공기층을 생각해보자. 단위넓이 안에는 $N dh$개만큼의 기체분자가 있을 것이고, 가해지는 압력은 $dp = - N dh \cdot mg$ 으로 주어진다.

이상기체 방정식

$$ pV = N k_{B} T $$

이상기체 방정식에서 부피가 $V=1$으로 고정되어 있으므로 아래의 식을 얻는다.

$$ p = N k_{B} T \implies dp = k_{B} T d N $$

$dp = - N dh \cdot mg$를 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$$ {{1} \over {N}} dN = - {{mg} \over {k_{B} T}} dh $$

위의 분리가능 1계 미분방정식을 풀면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} && \ln N(h) - \ln N(0) =& - {{mg} \over {k_{B} T}} h \\ \implies && \ln N(h) =& \ln N(0) + \ln e^{-mgh / k_{B} T} \\ \implies && \ln N(h) =& \ln \left( N(0) e^{-mgh / k_{B} T} \right) \end{align*} $$

로그를 풀면 다음의 식을 얻는다.

$$ N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B} T } $$

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볼츠만 분포를 이용하여

볼츠만 분포

$$ P(\epsilon) \propto e^{ - \epsilon /k_{B} T } $$

기체분자의 질량이 $m$, 높이가 $h$인 기체분자의 중력 퍼텐셜 에너지는 $mgh$이다. 따라서 기체분자의 에너지가 $mgh$일 확률은 볼츠만 분포에 따라 다음과 같다.

$$ P(mgh) \propto e^{ -mgh / {k_{B} T} } $$

여기서 $P(mgh)$ 는 높이 $h$에서 $N(h)$개의 기체분자를 찾을 수 있는 확률이 되므로,

$$ N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B}T } $$

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