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Lp 공간, 르벡 공간 📂르벡공간

Lp 공간, 르벡 공간

정의1 2 3

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}열린 집합, pp를 양의 실수라고 하자.

Ω\Omega 위에서 정의된 모든 가측함수 ff에 대해서 집합 Lp(Ω)L^{p}(\Omega)를 다음과 같이 정의한다.

Lp(Ω):={f:Ωf(x)pdx<} L^{p}(\Omega) := \left\{ f : \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx < \infty \right\}

이를 엘피공간lp space 혹은 르벡공간lebesgue space이라 하고, 간단히 LpL^{p}와 같이 표기하기도 한다. 보통 함수해석학 교재에서는 위와 같이 기술하고 측도론, 실해석학 교재에서는 다음과 같이 기술한다.

측도공간 (X,E,μ)(X, \mathcal{E}, \mu)이 주어졌다고 하자. XX 위에서 정의된 가측함수 ff에 대해서 집합 Lp(X,E,μ)L^{p}(X, \mathcal{E},\mu)를 다음과 같이 정의한다.

Lp(X,E,μ):={f:fpdμ<} L^{p}(X, \mathcal{E}, \mu) := \left\{ f : \int \left| f \right|^{p} d \mu < \infty \right\}

여기서 μ\mu측도이다. 간단하게 Lp(μ),Lp(X)L^{p}(\mu), L^{p}(X)등으로 표기한다.

성질

  1. LpL^{p}벡터공간이다.
  2. 1p1 \le p \le \infty에 대해서 LpL^{p}놈 공간이다.
  3. LpL^{p}완비공간이다.
  4. EXE\subset X에 대해서, 1pq1 \le p \le q \le \infty이고 μ(E)<    Lq(E)Lp(E)\mu (E) < \infty \implies L^{q} (E) \subset L^{p} (E)

설명

2. 에서 p<1p \lt 1 이면 p\left\| \cdot \right\|_{p}삼각 부등식을 만족하지 않아 놈이 되지 않는다. 반면에 p=p = \infty인 경우에는 LpL^{p} 공간이 놈 공간이 된다.

완비 공간인 놈 벡터공간을 특별히 바나흐 공간이라 부른다. 따라서 LpL^{p} 공간은 바나흐 공간이다. LpL^{p}횔더 부등식민코프스키 부등식이 성립하는 공간으로써 특히 중요하다.

내적이 정의된 벡터 공간을 내적공간이라 한다. 완비 공간인 내적 공간을 특별히 힐베르트 공간이라 한다. L2L^{2} 공간의 경우에는 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다.

(f(x)2dx)12=(f(x)f(x)dx)12=f,f12 \left( \int |f(x)|^2 dx\right)^{\frac{1}{2}} = \left( \int f(x)\overline{f(x)}dx \right) ^{\frac{1}{2}} = \langle f,f \rangle ^{\frac{1}{2}}

따라서 L2L^{2} 공간은 힐베르트 공간이다.

4. 에서 μ(E)<\mu (E) < \infty 라는 조건에 주목해보자. 만약 적분 범위가 바운드 되어있지 않으면 L1(E)L^{1} (E)L2(E)L^{2} (E)는 어떠한 포함 관계를 가지지 않게 된다. 특정한 조건을 만족하는 1p<q<r1 \le p \lt q \lt r에 대해서는 uLpLr    uLq{u \in L^{p} \cap L^{r} \implies u \in L^{q}}성립하기도 한다.

증명

2.

1p<1\le p <\infty에 대해서 p\| \cdot \|_{p}를 다음과 같이 정의하자.

fp:=(Ωf(x)pdx)1/p,fLp(Ω) \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p},\quad f\in L^{p}(\Omega)

그러면 p\| \cdot \|_{p}LpL^{p} 공간의 이 된다. (0<p<10<p<1일 때는 놈이 되지 않는다.) 정의에 의해서 fp0\| f \|_{p} \ge 0임은 자명하고, fp=0    f=0\| f \|_{p}=0 \iff f=0인 것도 자명하다. cCc \in \mathbb{C}에 대해서 cfp=cfp\| cf \|_{p} = \left| c \right| \left\| f \right\|_{p}이 성립함도 다음과 같이 보일 수 있다.

cfp=(Ωcf(x)pdx)1/p=(cpΩf(x)pdx)1/p=c(Ωf(x)pdx)1/p=cfp \begin{align*} \left\| cf \right\|_{p} =& \left( \int_{\Omega} \left| cf(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left( \left| c \right|^{p} \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left\| f \right\|_{p} \end{align*}

f,gLpf,g \in L^{p}에 대해서, f+gpfp+gp\left\| f + g \right\|_{p} \le \| f \|_{p} + \| g \|_{p}도 마찬가지로 성립하며 이에는 민코프스키 부등식이라는 이름이 붙어있다.

3.

전략: 거의 모든 것이 파투의 보조정리에 의해 해결된다.


주어진 코시 수열 fnf_{n} 에 대해 fnfnkp<12k\left\| f_{n} - f_{n_{k}} \right\|_{p} < \dfrac{1}{2^{k}}를 만족하는 부분수열 fnkf_{n_{k}} 를 찾을 수 있다. 모든 kNk \in \mathbb{N} 에 대해

gk:=i=1kfni+1fnig:=limkgk=i=1fni+1fni \begin{align*} g_{k} :=& \sum_{i=1}^{k} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \\ g :=& \lim_{k \to \infty} g_{k} = \sum_{i=1}^{\infty} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \end{align*}

을 정의하면 삼각 부등식에 의해

gkpik12i<1 \left\| g_{k} \right\|_{p} \le \sum_{i}^{k} \dfrac{1}{2^{i}} < 1

파투의 보조정리

함숫값이 음이 아닌 가측 함수수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 에 대해

(lim infnfn)dμlim infnfndμ \int \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) d \mu \le \liminf_{n \to \infty} \int f_{n} d \mu

파투의 보조정리에 따라

gpplimngkpdμlim infkgkpdμ1 \left\| g \right\|_{p}^{p} \le \int \lim_{n \to \infty} g_{k}^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int g_{k}^{p} d \mu \le 1

gg거의 어디서나 유한하므로

fnk=fn1(x)+i=1k[fni(x)fni1(x)] f_{n_{k}} = f_{n_{1}}(x) + \sum_{i=1}^{ k } \left[ f_{n_{i}} (x) - f_{n_{i-1}} (x) \right]

거의 어디서나 수렴한다. f:=limkfnkf := \lim\limits_{k \to \infty} f_{n_{k}} 라 정의하면 파투의 보조정리에 의해

ffmp=ffmpdμlim infkfnkfmpdμεp \left\| f - f_{m} \right\|_{p} = \int |f - f_{m}|^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int | f_{n_{k}} - f_{m}|^{p} d \mu \le \varepsilon^{p}

따라서 ffmLpf - f_{m} \in L^{p} 이고, f=fm+(ffm)Lpf = f_{m} + (f - f_{m} ) \in L^{p} 이다. LpL^{p} 의 모든 코시 수열이 LpL^{p} 의 원소에 수렴하므로, LpL^{p} 는 완비 공간이다.

4.

전략: f(x)p1+f(x)q|f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q} 라는 부등식만 보이면 나머지는 르벡 적분의 성질로 증명이 끝난다.


fLqf \in L^{q} 라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

f(x)1    f(x)p11f(x)    f(x)pf(x)q \begin{align*} | f(x) | \le 1 \implies& |f(x) |^{p} \le 1 \\ 1 \le |f(x)| \implies& |f(x)|^{p} \le |f(x)|^{q} \end{align*}

따라서 f(x)| f(x) |11 보다 크든 작든 다음이 성립한다.

f(x)p1+f(x)q |f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q}

르벡 적분 Edμ\displaystyle \int_{E} d \mu 을 취하면 다음과 같다.

EfpdμE1dμ+Efqdμ=m(E)+Efqdμ< \int_{E} |f|^{p} d \mu \le \int_{E} 1 d \mu + \int_{E} |f|^{q} d \mu = m(E) + \int_{E} |f|^{q} d \mu < \infty

m(E)<m(E) < \infty 이고 Efqdμ<\displaystyle \int_{E} |f|^{q} d \mu < \infty 이므로 다음이 성립한다.

Efpdμ< \int_{E} |f|^{p} d \mu < \infty

다시 말해 fLq    fLpf \in L^{q} \implies f \in L^{p} 이므로

Lq(E)Lp(E) L^{q} (E) \subset L^{p} (E)

같이보기


  1. Capinski, Measure, Integral and Probability (1999), p140 ↩︎

  2. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p23 ↩︎

  3. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p181 ↩︎