Lp 공간, 르벡 공간
📂르벡공간Lp 공간, 르벡 공간
정의
Ω⊂Rn를 열린 집합, p를 양의 실수라고 하자.
Ω 위에서 정의된 모든 가측함수 f에 대해서 집합 Lp(Ω)를 다음과 같이 정의한다.
Lp(Ω):={f:∫Ω∣f(x)∣pdx<∞}
이를 엘피공간lp space 혹은 르벡공간lebesgue space이라 하고, 간단히 Lp와 같이 표기하기도 한다. 보통 함수해석학 교재에서는 위와 같이 기술하고 측도론, 실해석학 교재에서는 다음과 같이 기술한다.
측도공간 (X,E,μ)이 주어졌다고 하자. X 위에서 정의된 가측함수 f에 대해서 집합 Lp(X,E,μ)를 다음과 같이 정의한다.
Lp(X,E,μ):={f:∫∣f∣pdμ<∞}
여기서 μ는 측도이다. 간단하게 Lp(μ),Lp(X)등으로 표기한다.
성질
- Lp는 벡터공간이다.
- 1≤p≤∞에 대해서 Lp는 놈 공간이다.
- Lp는 완비공간이다.
- E⊂X에 대해서, 1≤p≤q≤∞이고 μ(E)<∞⟹Lq(E)⊂Lp(E)
설명
2. 에서 p<1 이면 ∥⋅∥p가 삼각 부등식을 만족하지 않아 놈이 되지 않는다. 반면에 p=∞인 경우에는 Lp 공간이 놈 공간이 된다.
완비 공간인 놈 벡터공간을 특별히 바나흐 공간이라 부른다. 따라서 Lp 공간은 바나흐 공간이다. Lp는 횔더 부등식과 민코프스키 부등식이 성립하는 공간으로써 특히 중요하다.
내적이 정의된 벡터 공간을 내적공간이라 한다. 완비 공간인 내적 공간을 특별히 힐베르트 공간이라 한다. L2 공간의 경우에는 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다.
(∫∣f(x)∣2dx)21=(∫f(x)f(x)dx)21=⟨f,f⟩21
따라서 L2 공간은 힐베르트 공간이다.
4. 에서 μ(E)<∞ 라는 조건에 주목해보자. 만약 적분 범위가 바운드 되어있지 않으면 L1(E)와 L2(E)는 어떠한 포함 관계를 가지지 않게 된다. 특정한 조건을 만족하는 1≤p<q<r에 대해서는 u∈Lp∩Lr⟹u∈Lq가 성립하기도 한다.
증명
2.
1≤p<∞에 대해서 ∥⋅∥p를 다음과 같이 정의하자.
∥f∥p:=(∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p,f∈Lp(Ω)
그러면 ∥⋅∥p는 Lp 공간의 놈이 된다. (0<p<1일 때는 놈이 되지 않는다.) 정의에 의해서 ∥f∥p≥0임은 자명하고, ∥f∥p=0⟺f=0인 것도 자명하다. c∈C에 대해서 ∥cf∥p=∣c∣∥f∥p이 성립함도 다음과 같이 보일 수 있다.
∥cf∥p====(∫Ω∣cf(x)∣pdx)1/p(∣c∣p∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p∣c∣(∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p∣c∣∥f∥p
f,g∈Lp에 대해서, ∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p도 마찬가지로 성립하며 이에는 민코프스키 부등식이라는 이름이 붙어있다.
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3.
전략: 거의 모든 것이 파투의 보조정리에 의해 해결된다.
주어진 코시 수열 fn 에 대해 ∥fn−fnk∥p<2k1를 만족하는 부분수열 fnk 를 찾을 수 있다. 모든 k∈N 에 대해
gk:=g:=i=1∑k∣fni+1−fni∣k→∞limgk=i=1∑∞∣fni+1−fni∣
을 정의하면 삼각 부등식에 의해
∥gk∥p≤i∑k2i1<1
파투의 보조정리
함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn} 에 대해
∫(n→∞liminffn)dμ≤n→∞liminf∫fndμ
파투의 보조정리에 따라
∥g∥pp≤∫n→∞limgkpdμ≤k→∞liminf∫gkpdμ≤1
g가 거의 어디서나 유한하므로
fnk=fn1(x)+i=1∑k[fni(x)−fni−1(x)]
는 거의 어디서나 수렴한다. f:=k→∞limfnk 라 정의하면 파투의 보조정리에 의해
∥f−fm∥p=∫∣f−fm∣pdμ≤k→∞liminf∫∣fnk−fm∣pdμ≤εp
따라서 f−fm∈Lp 이고, f=fm+(f−fm)∈Lp 이다. Lp 의 모든 코시 수열이 Lp 의 원소에 수렴하므로, Lp 는 완비 공간이다.
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4.
전략: ∣f(x)∣p≤1+∣f(x)∣q 라는 부등식만 보이면 나머지는 르벡 적분의 성질로 증명이 끝난다.
f∈Lq 라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.
∣f(x)∣≤1⟹1≤∣f(x)∣⟹∣f(x)∣p≤1∣f(x)∣p≤∣f(x)∣q
따라서 ∣f(x)∣ 이 1 보다 크든 작든 다음이 성립한다.
∣f(x)∣p≤1+∣f(x)∣q
르벡 적분 ∫Edμ 을 취하면 다음과 같다.
∫E∣f∣pdμ≤∫E1dμ+∫E∣f∣qdμ=m(E)+∫E∣f∣qdμ<∞
m(E)<∞ 이고 ∫E∣f∣qdμ<∞ 이므로 다음이 성립한다.
∫E∣f∣pdμ<∞
다시 말해 f∈Lq⟹f∈Lp 이므로
Lq(E)⊂Lp(E)
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