Lp 공간, 르벡 공간
정의1 2 3
$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합, $p$를 양의 실수라고 하자.
$\Omega$ 위에서 정의된 모든 가측함수 $f$에 대해서 집합 $L^{p}(\Omega)$를 다음과 같이 정의한다.
$$ L^{p}(\Omega) := \left\{ f : \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx < \infty \right\} $$
이를 엘피공간lp space 혹은 르벡공간lebesgue space이라 하고, 간단히 $L^{p}$와 같이 표기하기도 한다. 보통 함수해석학 교재에서는 위와 같이 기술하고 측도론, 실해석학 교재에서는 다음과 같이 기술한다.
측도공간 $(X, \mathcal{E}, \mu)$이 주어졌다고 하자. $X$ 위에서 정의된 가측함수 $f$에 대해서 집합 $L^{p}(X, \mathcal{E},\mu)$를 다음과 같이 정의한다.
$$ L^{p}(X, \mathcal{E}, \mu) := \left\{ f : \int \left| f \right|^{p} d \mu < \infty \right\} $$
여기서 $\mu$는 측도이다. 간단하게 $L^{p}(\mu), L^{p}(X)$등으로 표기한다.
성질
- $L^{p}$는 벡터공간이다.
- $1 \le p \le \infty$에 대해서 $L^{p}$는 놈 공간이다.
- $L^{p}$는 완비공간이다.
- $E\subset X$에 대해서, $1 \le p \le q \le \infty$이고 $\mu (E) < \infty \implies L^{q} (E) \subset L^{p} (E)$
설명
2. 에서 $p \lt 1$ 이면 $\left\| \cdot \right\|_{p}$가 삼각 부등식을 만족하지 않아 놈이 되지 않는다. 반면에 $p = \infty$인 경우에는 $L^{p}$ 공간이 놈 공간이 된다.
완비 공간인 놈 벡터공간을 특별히 바나흐 공간이라 부른다. 따라서 $L^{p}$ 공간은 바나흐 공간이다. $L^{p}$는 횔더 부등식과 민코프스키 부등식이 성립하는 공간으로써 특히 중요하다.
내적이 정의된 벡터 공간을 내적공간이라 한다. 완비 공간인 내적 공간을 특별히 힐베르트 공간이라 한다. $L^{2}$ 공간의 경우에는 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다.
$$ \left( \int |f(x)|^2 dx\right)^{\frac{1}{2}} = \left( \int f(x)\overline{f(x)}dx \right) ^{\frac{1}{2}} = \langle f,f \rangle ^{\frac{1}{2}} $$
따라서 $L^{2}$ 공간은 힐베르트 공간이다.
4. 에서 $\mu (E) < \infty$ 라는 조건에 주목해보자. 만약 적분 범위가 바운드 되어있지 않으면 $L^{1} (E)$와 $L^{2} (E)$는 어떠한 포함 관계를 가지지 않게 된다. 특정한 조건을 만족하는 $1 \le p \lt q \lt r$에 대해서는 ${u \in L^{p} \cap L^{r} \implies u \in L^{q}}$가 성립하기도 한다.
증명
2.
$1\le p <\infty$에 대해서 $\| \cdot \|_{p}$를 다음과 같이 정의하자.
$$ \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p},\quad f\in L^{p}(\Omega) $$
그러면 $\| \cdot \|_{p}$는 $L^{p}$ 공간의 놈이 된다. ($0<p<1$일 때는 놈이 되지 않는다.) 정의에 의해서 $\| f \|_{p} \ge 0$임은 자명하고, $\| f \|_{p}=0 \iff f=0$인 것도 자명하다. $c \in \mathbb{C}$에 대해서 $\| cf \|_{p} = \left| c \right| \left\| f \right\|_{p}$이 성립함도 다음과 같이 보일 수 있다.
$$ \begin{align*} \left\| cf \right\|_{p} =& \left( \int_{\Omega} \left| cf(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left( \left| c \right|^{p} \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left\| f \right\|_{p} \end{align*} $$
$f,g \in L^{p}$에 대해서, $\left\| f + g \right\|_{p} \le \| f \|_{p} + \| g \|_{p}$도 마찬가지로 성립하며 이에는 민코프스키 부등식이라는 이름이 붙어있다.
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3.
전략: 거의 모든 것이 파투의 보조정리에 의해 해결된다.
주어진 코시 수열 $f_{n}$ 에 대해 $\left\| f_{n} - f_{n_{k}} \right\|_{p} < \dfrac{1}{2^{k}}$를 만족하는 부분수열 $f_{n_{k}}$ 를 찾을 수 있다. 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해
$$ \begin{align*} g_{k} :=& \sum_{i=1}^{k} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \\ g :=& \lim_{k \to \infty} g_{k} = \sum_{i=1}^{\infty} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \end{align*} $$
을 정의하면 삼각 부등식에 의해
$$ \left\| g_{k} \right\|_{p} \le \sum_{i}^{k} \dfrac{1}{2^{i}} < 1 $$
함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 에 대해
$$ \int \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) d \mu \le \liminf_{n \to \infty} \int f_{n} d \mu $$
파투의 보조정리에 따라
$$ \left\| g \right\|_{p}^{p} \le \int \lim_{n \to \infty} g_{k}^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int g_{k}^{p} d \mu \le 1 $$
$g$가 거의 어디서나 유한하므로
$$ f_{n_{k}} = f_{n_{1}}(x) + \sum_{i=1}^{ k } \left[ f_{n_{i}} (x) - f_{n_{i-1}} (x) \right] $$
는 거의 어디서나 수렴한다. $f := \lim\limits_{k \to \infty} f_{n_{k}}$ 라 정의하면 파투의 보조정리에 의해
$$ \left\| f - f_{m} \right\|_{p} = \int |f - f_{m}|^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int | f_{n_{k}} - f_{m}|^{p} d \mu \le \varepsilon^{p} $$
따라서 $f - f_{m} \in L^{p}$ 이고, $f = f_{m} + (f - f_{m} ) \in L^{p}$ 이다. $L^{p}$ 의 모든 코시 수열이 $L^{p}$ 의 원소에 수렴하므로, $L^{p}$ 는 완비 공간이다.
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4.
전략: $|f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q}$ 라는 부등식만 보이면 나머지는 르벡 적분의 성질로 증명이 끝난다.
$f \in L^{q}$ 라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} | f(x) | \le 1 \implies& |f(x) |^{p} \le 1 \\ 1 \le |f(x)| \implies& |f(x)|^{p} \le |f(x)|^{q} \end{align*} $$
따라서 $| f(x) |$ 이 $1$ 보다 크든 작든 다음이 성립한다.
$$ |f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q} $$
르벡 적분 $\displaystyle \int_{E} d \mu$ 을 취하면 다음과 같다.
$$ \int_{E} |f|^{p} d \mu \le \int_{E} 1 d \mu + \int_{E} |f|^{q} d \mu = m(E) + \int_{E} |f|^{q} d \mu < \infty $$
$m(E) < \infty$ 이고 $\displaystyle \int_{E} |f|^{q} d \mu < \infty$ 이므로 다음이 성립한다.
$$ \int_{E} |f|^{p} d \mu < \infty $$
다시 말해 $f \in L^{q} \implies f \in L^{p}$ 이므로
$$ L^{q} (E) \subset L^{p} (E) $$
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