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르벡 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식

정리¹

$f,g \in L^{2} (E)$면 $fg \in L^{1}(E)$이고 다음이 성립한다.

$$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

여기서 $\| \cdot \|_{2}$은 $L^{2}$ 공간의 놈, $\| \cdot \|_{1}$은 $L^{1}$ 공간의 놈이다.

설명

함수해석학 정도를 배우고 있다면 이 부등식에 왜 코시-슈바르츠라는 이름이 붙었는지 바로 감이 와야한다. 사실 내적이 정의된다면 코시-슈바르츠 부등식은 어디서나 찾을 수 있다. 횔더 부등식으로 일반화할 수 있다.

증명

$$\int_{E} fg dm \le \int_{E} |fg| dm \le \int_{E} | f + g |^2 dm < \infty$$

이므로 $fg \in L^{1}$이다. 한편 $\displaystyle (x - y)^2 \ge 0$에서 다음을 얻는다.

$$xy \le \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)$$

• Case 1. $\left\| f \right\|_{2} = 0$ 이거나 $\left\| g \right\|_{2} = 0$

  거의 어디서나 $f = 0$이거나 거의 어디서나 $g = 0$이므로, 거의 어디서나 $f\overline{g} = 0$이다. 따라서 $\displaystyle \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| = \left\| fg \right\|_{1} = 0$이고 $\left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} = 0$이므로 부등식을 만족시킨다.

• Case 2. $\left\| f \right\|_{2} = \left\| g \right\|_{2} = 1$

  $$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \int_{E} \left| f \overline{g} \right| dm = \left\| fg \right\|_{1} \le {{1} \over {2}} (1 + 1) = 1 = \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

  이므로 부등식을 만족시킨다.

• Case 3. 그 외의 경우

  정규화된 함수 $\displaystyle \hat{ f } : = {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}}$ 와 $\displaystyle \hat{ g } : = {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}}$를 새롭게 정의하자. 그러면 Case 2에 의해

  $$\left| \int_{E} \hat{f} \overline{\hat{g} } dm \right| \le \left\| \hat{f} \hat{g} \right\|_{1} \le \left\| \hat{f} \right\|_{2} \left\| \hat{g} \right\|_{2}$$

  풀어 쓰면

  $$\left| \int_{E} {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \overline{{{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} } dm \right| \le \left\| {{f} \over { \left\| f \right\|_{2}}} {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{1} \le \left\| {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \right\|_{2} \left\| {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{2}$$

  스칼라 $\left\| f \right\|_{2} , \left\| g \right\|_{2} \in (0, \infty)$를 정리하면

  $$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

  을 얻는다.

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같이보기

• 입시 수학에서의 코시-슈바르츠 부등식
• 유클리드 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식