📂상미분방정식

2계 선형 동차 미분방정식의 해의 기본집합과 론스키안

정의¹

$$ ay^{\prime \prime}+ by^\prime +cy=0 $$

위와 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 주어졌다고 하자. $W$를 론스키안이라고 하자. $W (y_{1}, y_{2}) \ne 0$이면 $\left\{ y_{1}, y_{2} \right\}$를 주어진 미분방정식의 해의 기본집합^{fundamental set of solution}이라 한다.

설명

$$ ay^{\prime \prime}+ by^\prime +cy=0 $$

위와 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 주어졌다고 하자. 미분 연산자를 $D := \dfrac{d}{dx}$라고 정의하면 $\dfrac{d}{dx}y=Dy$이고 주어진 미분방정식은 다음과 같다.

$$ (aD^2+bD+c)y=0 $$

즉 주어진 미분방정식을 푼다는 것은 사실상 $D$에 대한 2차방정식을 푸는 것과 같다. 따라서 2차 방정식의 해가 2개이므로 2계 미분 방정식의 해도 2개이다. 그렇다면 우리가 해야 할 일은 서로 다른 2개의 해를 찾는 것이다. 선형대수의 언어로 설명하자면 서로 독립인 두 해를 찾아야한다. 즉 주어진 미분방정식의 해 공간^{solution space}을 생성하는 기저를 찾는 것과 같다. 만약 어떤 과정으로 찾은 두 해가 각각 $y_{1}=3e^t$, $y_{2}=-2e^t$라면 둘은 독립이 아니므로 기저가 될 수 없고 기본 집합이 아니다. 독립인 두 해를 찾아야만 해 공간을 이루는 기저가 될 수 있고 아래와 같이 기저의 선형 결합 꼴의 일반해로 표현할 수 있다.

$$ y=c_{1}y_{1} + c_2y_{2} $$

두 함수의 독립성은 론스키안을 쓰면 알 수 있다. 따라서 $W(y_{1}, y_{2}) \ne 0$이면 $y_{1}$과 $y_{2}$의 선형결합으로 일반해를 표현할 수 있고 그 둘을 해의 기본 집합이라 하는 것이다.

같이보기

• 아벨의 정리