깊이에 따른 유체의 압력을 구하는 공식
공식
유체의 표면으로부터 수직 거리 $h$만큼 아래인 곳의 압력, 쉽게 말해서 깊이가 $h$인 곳의 유체의 압력 $P_{h}$는 다음과 같다.
$$ P_{h}=P_{0}+\rho g h $$
이 때, $P_{0}$는 대기압, $\rho$는 물체의 밀도, $g$는 중력 가속도이다.
설명
정적인 상태에서만 해당하는 공식이다. 흐르는(속도가 있는) 유체에서는 적용되지 않는다. 또한 위 내용은 유체가 담긴 용기의 모양에 상관없이 적용된다. 즉, 깊이에 따른 압력은 유체가 담긴 용기의 모양에 무관하다.
유도
깊이가 $h$인 곳에 어떤 물체가 평형 상태로 잠겨있다고 하자. 이 물체의 각 면에서 받는 압력을 통해 깊이에 따른 유체의 압력을 구할 수 있다. 우선 물체에 작용하는 모든 힘을 찾아보자.
- 중력$(\downarrow)$
- 윗면에 작용하는 힘$(\downarrow)$
- 아랫면에 작용하는 힘$(\uparrow)$
- 측면에 작용하는 힘$(\rightarrow \leftarrow)$
수평 방향부터 생각해보자. 수평 방향으로 작용하는 힘은 물체의 측면에 작용하는 힘 밖에 없다. 따라서, 물체가 평형상태이므로, 측면에 작용하는 힘은 반대쪽에서 작용하는 힘과 정확히 반대이다. 즉, 깊이 $h$인 곳에서 받는 수평 방향으로의 압력의 합은 $0$이다. 예의 그림은 직사각형이지만 일반적으로 물체의 측면 모양에 무관하다.
다음은 수직 방향을 생각해보자. 수직 방향으로 작용하는 힘은 수평 방향일 때와 다르게 윗면, 아랫면에 작용하는 힘과 더불어 중력도 존재한다. 우선 중력이 작용하는 방향을 $+$방향으로 정하겠다.물체의 질량은 부피$\times$밀도이므로, 물체의 밀도를 $\rho$라고 하면 물체의 질량은 $m=\rho Ad$. 따라서 중력은 $mg=\rho Ad g$. 윗면에 작용하는 힘은 $P_{h_{1}}A$ (힘은 압력$\times$면적이므로). 아랫면에 작용하는 힘은 $-P_{h_{2}}A$ 물체는 평형 상태이므로 세 힘을 모두 더하면 $0$이다.
$$ \rho Ad g + P_{h_{1}}A - P_{h_{2}}A=0 $$
식 전체를 $A$로 나눠주고 $P_{h_{2}}$에 대해서 정리하면,
$$ P_{h_{2}}=\rho dg + P_{h_{1}} \tag{1} $$
이 때 위 그림에서 $h_{1}=0$, $h_{2}=h$를 대입하면 $d=h_{2}-h_{1}=h$이므로 $(1)$은
$$ P_{h}=\rho hg + P_{0} $$
$$ \implies P_{h}=P_{0} + \rho gh $$
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