📂추상대수

양말-신발 성질: ab의 역원은 b의 역원과 a의 역원의 곱과 같다

정리 ¹

임의의 군 $G$의 원소 $a,b$에 대하여 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$이다.

증명

$(ab)^{-1}$는 $ab$의 역원이므로 $$ab(ab)^{-1}=e$$ 양변에 $a^{-1}$를 곱해주면 $$b(ab)^{-1}=a^{-1}e=a^{-1}$$ 양변에 $b^{-1}$를 곱해주면 $$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$

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설명

이 정리에는 양말-신발 성질^{Socks Shoes Property}이라는 이름이 붙어 있는데, 수식을 양말을 신고 신발을 신는 과정에 비유한 것이다. 양말을 신는 것을 $a$, 신발을 신는 것을 $b$라고 하면 맨발은 $e$이고, 양말과 신발을 차례로 신은 다음 다시 맨발로 돌아가려면 신발부터 “먼저 벗고” 양말을 벗어야한다. 이걸 수식으로 표현하면 다음과 같다. $$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$