連結成分と完全不連結空間
定義
位相空間 $X$の連結部分空間のうち、自分自身のみを連結な超集合supersetとして持つ連結集合を$X$の連結成分connected Componentという。特に、$x \in X$を含む連結成分を$C_{x}$と記す。$X$のすべての連結成分が単元集合であるとき、$X$を完全不連結空間totally Disconnected spaceという。
説明
連結成分
定義だけ見ると言葉が堂々巡りしているように見えるが、意外にたいしたことのない概念だ。
すべての連結空間を「成分」と呼ぶにはあまりに多すぎるので、もし自分自身より大きな集合の中に連結集合があれば、それを除外する。そのように大きな集合を次々と探し、「塊」として考えられるものを一つの単位として捉えたと見ればよい。
簡単な例として休という漢字を考えてみると、左側の亻と木が休の連結成分になるわけである。ある連結成分の話をするとき、わざわざすべての連結成分を知ったり言及したりする必要はない。陸路があるかないかを連結と考えるなら、我が国は本土と済州島、鬱陵島、独島などが連結成分だとだけ言っても十分である。
以下は連結成分に関するさまざまな性質である。ほとんどは難なく証明できるが、それに集中するよりも事実として慣れる努力が重要だろう。
連結成分の性質
- [1]: $x \in X$はただ一つの$C_{x}$にのみ属する。
- [2]: $a,b \in X$について、$C_{a} = C_{b}$であるか$C_{a} \cap C_{b} = \emptyset$であるかのどちらかである。
完全不連結空間
一方で完全不連結空間は連結空間の正反対の概念と考えて差し支えないが、ここでいう正反対とは否定を意味するわけではない。周知のように連結空間の否定は非連結空間であるだけであり、完全不連結空間は「すべての」部分集合について連結性が欠如したものである。簡単な例として離散空間がある。