📂위상수학

위상수학자의 사인 곡선과 빗 공간

정의 ¹

1. 다음과 같이 정의된 $S$ 를 위상수학자의 사인 곡선^{topologist’s Sine curve}이라 한다. $$ S : = \left\{ (0,y) \ | \ y \in [-1,1] \right\} \cup \left\{ \left. \left( x, \sin {{1} \over {x}} \right) \ \right| \ x \in (0,1] \right\} $$
2. 다음과 같이 정의된 $C$ 를 위상수학자의 빗 공간^{comb space}이라 한다. $$ C := \left\{ (0,y) \ | \ y \in [0,1] \right\} \cup \left\{ (x,0) \ | \ x \in [0,1] \right\} \cup \left\{ \left( {{1} \over {n}} , y \right) \ | \ y \in [0,1] , n \in \mathbb{N} \right\} $$

설명

수식으로 나타낸 표현보다는 그림 자체를 기억하도록 하자. 이들은 이름에서 나타나있듯 위상수학에서 흥미로운 성질을 가지는 공간들로 여러 명제의 반례로써 유용하게 쓰인다.

사인 곡선

• [1]: $S$ 는 연결이지만 경로연결이 아니고 국소연결도 아니다.

사인 곡선을 $1$ 에서 $0$ 으로 그려간다고 생각하면 분명히 $y$ 축과 닿기는 닿을 것이다. 하지만 가까이 가면 갈수록 그 궤적은 $[-1,1]$ 에서 격하게 요동치고, 정확하게 이 둘을 잇는 경로를 잡을 수가 없다.

빗 공간

• [2]: $C$ 는 경로연결이지만 국소연결이 아니다.

빗 공간은 $x$ 축의 선분을 통해 모두 연결되어 있긴 하지만 $y$ 축 상의 어떤 열린 공간에서 국소연결이 될 수 없다.

코드

추가로 해당 포스트에서 사용된 그림을 그리기 위한 R코드를 남긴다.

win.graph(7,3.5)
par(mfrow=c(1,2))
 
X = seq(0.0001,2,0.0001)
plot(X,sin(1/X),ylim=c(-1,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(1) 위상수학자의 사인 곡선',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,0,1)
 
plot(NA,ylim=c(0,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(2) 위상수학자의 빗 공간',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,1,0)
segments(0,0,0,1)
segments(1/1:1000,0,1/1:1000,1)