연결 공간의 부분 공간의 성질들
정리
위상공간 $X$ 에 대해 $Y \subset X$ 라고 하자.
- [1]: $Y$ 가 연결 공간이면 $\overline{Y}$ 도 연결 공간이다.
- [2]: $Y$ 가 비연결 공간인 것과 $$ U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V $$ 를 만족하는 $X$ 의 열린 집합 $U$ 와 $V$ 가 존재하는 것은 서로 동치다.
- [3]: $X$ 의 연결 부분공간의 집합 $\left\{ A_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 에 대해 $$ \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset $$ 이면 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha}$ 는 연결 공간이다.
- [4]: $X$ 의 연결 부분공간의 수열 $\left\{ A_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 에 대해 $$ A_{n} \cap \left( \bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i} \right) \ne \emptyset $$ 이면 $\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ 은 연결 공간이다.
설명
[2]
말이 길기도 하고 상상하기도 어렵기 때문에 도식화를 하는 게 좋다.
여기서 $Y = Y_{1} \cup Y_{2}$ 다. 아무리 위상수학을 공부했다지만 부분집합이라고만 했을 때 이렇게 떨어진 모양을 상상하기란 쉬운 일이 아니다. 글로 달달달 외우기보다는 비연결의 정의 자체를 떠올리며 팩트로써 받아들이도록 하자.
[3]
$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$ 이라는 조건은 정확히 어떤 원소인지는 몰라도 적어도 한 점이 모두를 연결하고 있음을 의미한다. 여러 장의 헝겊을 못 하나로 꿰뚫어 벽에 박제해두는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다.
[4]
$\displaystyle A_{n} \cap \left( \bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i} \right) \ne \emptyset$ 이라는 조건은 부분공간들이 몇다리 건너서라도 연결되어 있음을 의미한다. 쇠사슬처럼 모든 고리가 연결되어 있는 건 아니지만 전체적으로는 이어져있는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다. 정리 [3]의 주어진 집합이 가산 집합으로 제한이 생긴 대신 집합 자체의 조건이 완화된 걸로 받아들이면 된다.
참고로 정리 [3], [4]는 ‘연결‘을 ‘경로연결‘로 바꿔도 문제 없이 성립한다.
증명
[1]
$\overline{Y}$ 가 비연결 공간이라고 가정하자.
$X$ 가 비연결 공간이면 이산공간 $\left\{ a, b \right\}$ 에 대해 전사인 연속함수 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ 가 존재한다.
그러면 전사고 연속인 함수 $f : \overline{Y} \to \left\{ a, b \right\}$ 가 존재한다. 이 함수에서 정의역만 $Y$ 로 제한시킨 $f|_{Y} : Y \to \left\{ a, b \right\}$ 을 생각해보자.
이산공간 $\left\{ a, b \right\}$ 는 연결 공간이 아니므로 대우법에 의해 $Y$ 가 비연결 공간이거나 $f|_{Y}$ 가 전사가 아니거나 연속이 아니어야한다. 그러나 전제에서 $Y$ 는 연결 공간이고 $f|_{Y}$ 는 여전히 연속이므로, $f|_{Y}$ 는 전사가 아니어야한다.
[$f$ 가 연속이면 모든 $A \subset X$ 에 대해, $f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) } $](../432)
즉 $f(Y) = \left\{ a \right\}$ 혹은 $f(Y) = \left\{ b \right\}$ 인데 $f$ 가 연속이므로 $f( \overline{Y}) \subset \overline{ f(Y) } \ne \left\{ a , b \right\}$ 다. 이는 $f$ 가 전사임에 모순이므로, $\overline{Y}$ 가 연결 공간이어야한다.
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한편 이에 따라 아래의 유용한 따름정리를 얻어낼 수 있다.
위상공간 $X$ 의 부분공간 $Y$ 이 연결공간이면 $Y \subset Z \subset \overline{Y}$ 를 만족하는 $Z$ 는 연결공간이다.
[2]
$(\Rightarrow)$
$Y$ 는 비연결 공간이므로 $A \cap B = \emptyset$ 과 $A \cup B = Y$ 를 만족하는 $Y$ 에서 공집합이 아닌 열린 공간 $A , B$ 가 존재한다. $A$ 와 $B$ 가 열린 공간이므로 $$ U \cap Y =A \\ V \cap Y = B $$ 를 만족하는 $X$ 에서 열린 공간 $U, V$ 가 존재한다. 따라서 $$ U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = (U \cap Y) \cap (V \cap Y) = A \cap B = \emptyset $$ 한편 $Y = A \cup B \subset U \cup V$ 이다.
$(\Leftarrow)$
$$ U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V $$ 를 만족하는 $X$ 의 열린 집합 $U$ 와 $V$ 가 존재한다고 하자. $$ A := U \cap Y \\ B := V \cap Y $$ 이라고 하면 $A, B$ 는 $Y$ 에서 공집합이 아닌 열린 집합이다. 한편 $$ A \cap B = (U \cap Y) \cap ( V \cap Y) = U \cap V \cap Y = \emptyset \\ A \cup B = (U \cap Y) \cup (V \cap Y) = ( U \cup V ) \cap Y = Y $$ 따라서 $Y$ 는 비연결 공간이다.
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[3]
$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$ 이라 할 때 $Y = \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha}$ 가 비연결 공간이라고 가정해보자. 정리 [2]에 의해 $$ U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V $$ 를 만족하는 $X$ 의 열린 집합 $U$ 와 $V$ 가 존재한다. 그러면 $$ (U \cap A_{\alpha} ) \cup (V \cap A_{\alpha} ) = (U \cup V) \cap A_{\alpha} = A_{\alpha} \\ (U \cap A_{\alpha} ) \cap (V \cap A_{\alpha} ) = ( U \cap V) \cap A_{\alpha} = \emptyset $$ 이다. 하지만 $A_{\alpha}$ 는 연결 공간이라고 가정했으므로 $(U \cap A_{\alpha} )$ 와 $(V \cap A_{\alpha} )$ 둘 중 하나는 공집합이어야한다. $U$ 든 $V$ 든 상관 없으므로 그냥 $(V \cap A_{\alpha} ) = \emptyset$ 이라고 해보자.임의의 $A_{\alpha}$ 에 대해 $(V \cap A_{\alpha} ) = \emptyset$ 이므로 $$ V \cap \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} = \emptyset $$ 이다. 다시 깔끔하게 적으면 $V \cap Y = \emptyset$ 인데, 이는 가정에 모순이다.
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[4]
자연수 $n \le 2$ 에 대해 $\displaystyle B_{n} := \bigcup_{i = 1}^{n-1} A_{i}$ 라고 하자.
$A_{1}$ 은 연결 공간이므로 $B_{2}$ 역시 연결 공간이고, 수학적 귀납법에 의해 $B_{n}$ 은 연결 공간이다. $$ \emptyset \ne A_{2} \cap A_{1} \subset A_{1} \subset B_{n-1} \subset B_{n} $$ 이므로 $$ \bigcap_{n=2}^{\infty} B_{n} \ne \emptyset $$ 정리 [3] 에 의해 $\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n = 2}^{\infty} B_{n}$ 은 연결 공간이다.
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