연결 공간의 부분 공간의 성질들
📂위상수학연결 공간의 부분 공간의 성질들
정리
위상공간 X 에 대해 Y⊂X 라고 하자.
- [1]: Y 가 연결 공간이면 Y 도 연결 공간이다.
- [2]: Y 가 비연결 공간인 것과
U∩Y=∅V∩Y=∅U∩V∩Y=∅Y⊂U∪V
를 만족하는 X 의 열린 집합 U 와 V 가 존재하는 것은 서로 동치다.
- [3]: X 의 연결 부분공간의 집합 {Aα ∣ α∈∀} 에 대해
α∈∀⋂Aα=∅
이면 α∈∀⋃Aα 는 연결 공간이다.
- [4]: X 의 연결 부분공간의 수열 {An ∣ n∈N} 에 대해
An∩(i=1⋃n−1Ai)=∅
이면 n=1⋃∞An 은 연결 공간이다.
설명
[2]
말이 길기도 하고 상상하기도 어렵기 때문에 도식화를 하는 게 좋다.
여기서 Y=Y1∪Y2 다. 아무리 위상수학을 공부했다지만 부분집합이라고만 했을 때 이렇게 떨어진 모양을 상상하기란 쉬운 일이 아니다. 글로 달달달 외우기보다는 비연결의 정의 자체를 떠올리며 팩트로써 받아들이도록 하자.
[3]
α∈∀⋂Aα=∅ 이라는 조건은 정확히 어떤 원소인지는 몰라도 적어도 한 점이 모두를 연결하고 있음을 의미한다. 여러 장의 헝겊을 못 하나로 꿰뚫어 벽에 박제해두는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다.
[4]
An∩(i=1⋃n−1Ai)=∅ 이라는 조건은 부분공간들이 몇다리 건너서라도 연결되어 있음을 의미한다. 쇠사슬처럼 모든 고리가 연결되어 있는 건 아니지만 전체적으로는 이어져있는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다. 정리 [3]의 주어진 집합이 가산 집합으로 제한이 생긴 대신 집합 자체의 조건이 완화된 걸로 받아들이면 된다.
참고로 정리 [3], [4]는 ‘연결‘을 ‘경로연결‘로 바꿔도 문제 없이 성립한다.
증명
[1]
Y 가 비연결 공간이라고 가정하자.
X 가 비연결 공간이면 이산공간 {a,b} 에 대해 전사인 연속함수 f:X→{a,b} 가 존재한다.
그러면 전사고 연속인 함수 f:Y→{a,b} 가 존재한다. 이 함수에서 정의역만 Y 로 제한시킨 f∣Y:Y→{a,b} 을 생각해보자.
연결 공간 X 에 대해 f:X→Y 가 전사 연속함수면 Y 는 연결 공간이다.
이산공간 {a,b} 는 연결 공간이 아니므로 대우법에 의해 Y 가 비연결 공간이거나 f∣Y 가 전사가 아니거나 연속이 아니어야한다. 그러나 전제에서 Y 는 연결 공간이고 f∣Y 는 여전히 연속이므로, f∣Y 는 전사가 아니어야한다.
[f 가 연속이면 모든 A⊂X 에 대해, f(A)⊂f(A)](../432)
즉 f(Y)={a} 혹은 f(Y)={b} 인데 f 가 연속이므로 f(Y)⊂f(Y)={a,b} 다. 이는 f 가 전사임에 모순이므로, Y 가 연결 공간이어야한다.
■
한편 이에 따라 아래의 유용한 따름정리를 얻어낼 수 있다.
위상공간 X 의 부분공간 Y 이 연결공간이면 Y⊂Z⊂Y 를 만족하는 Z 는 연결공간이다.
[2]
(⇒)
Y 는 비연결 공간이므로 A∩B=∅ 과 A∪B=Y 를 만족하는 Y 에서 공집합이 아닌 열린 공간 A,B 가 존재한다. A 와 B 가 열린 공간이므로
U∩Y=AV∩Y=B
를 만족하는 X 에서 열린 공간 U,V 가 존재한다. 따라서
U∩Y=∅V∩Y=∅U∩V∩Y=(U∩Y)∩(V∩Y)=A∩B=∅
한편 Y=A∪B⊂U∪V 이다.
(⇐)
U∩Y=∅V∩Y=∅U∩V∩Y=∅Y⊂U∪V
를 만족하는 X 의 열린 집합 U 와 V 가 존재한다고 하자.
A:=U∩YB:=V∩Y
이라고 하면 A,B 는 Y 에서 공집합이 아닌 열린 집합이다. 한편
A∩B=(U∩Y)∩(V∩Y)=U∩V∩Y=∅A∪B=(U∩Y)∪(V∩Y)=(U∪V)∩Y=Y
따라서 Y 는 비연결 공간이다.
■
[3]
α∈∀⋂Aα=∅ 이라 할 때 Y=α∈∀⋃Aα 가 비연결 공간이라고 가정해보자. 정리 [2]에 의해
U∩Y=∅V∩Y=∅U∩V∩Y=∅Y⊂U∪V
를 만족하는 X 의 열린 집합 U 와 V 가 존재한다. 그러면
(U∩Aα)∪(V∩Aα)=(U∪V)∩Aα=Aα(U∩Aα)∩(V∩Aα)=(U∩V)∩Aα=∅
이다. 하지만 Aα 는 연결 공간이라고 가정했으므로 (U∩Aα) 와 (V∩Aα) 둘 중 하나는 공집합이어야한다. U 든 V 든 상관 없으므로 그냥 (V∩Aα)=∅ 이라고 해보자.임의의 Aα 에 대해 (V∩Aα)=∅ 이므로
V∩α∈∀⋂Aα=∅
이다. 다시 깔끔하게 적으면 V∩Y=∅ 인데, 이는 가정에 모순이다.
■
[4]
자연수 n≤2 에 대해 Bn:=i=1⋃n−1Ai 라고 하자.
A1 은 연결 공간이므로 B2 역시 연결 공간이고, 수학적 귀납법에 의해 Bn 은 연결 공간이다.
∅=A2∩A1⊂A1⊂Bn−1⊂Bn
이므로
n=2⋂∞Bn=∅
정리 [3] 에 의해 n=1⋃∞An=n=2⋃∞Bn 은 연결 공간이다.
■