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연결 공간의 부분 공간의 성질들 📂위상수학

연결 공간의 부분 공간의 성질들

정리

위상공간 XX 에 대해 YXY \subset X 라고 하자.

  • [1]: YY연결 공간이면 Y\overline{Y} 도 연결 공간이다.
  • [2]: YY 가 비연결 공간인 것과 UYVYUVY=YUV U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V 를 만족하는 XX 의 열린 집합 UUVV 가 존재하는 것은 서로 동치다.
  • [3]: XX 의 연결 부분공간의 집합 {Aα  α}\left\{ A_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} 에 대해 αAα \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset 이면 αAα\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} 는 연결 공간이다.
  • [4]: XX 의 연결 부분공간의 수열 {An  nN}\left\{ A_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 에 대해 An(i=1n1Ai) A_{n} \cap \left( \bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i} \right) \ne \emptyset 이면 n=1An\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} 은 연결 공간이다.

설명

[2]

말이 길기도 하고 상상하기도 어렵기 때문에 도식화를 하는 게 좋다.

20180308\_144911.png

여기서 Y=Y1Y2Y = Y_{1} \cup Y_{2} 다. 아무리 위상수학을 공부했다지만 부분집합이라고만 했을 때 이렇게 떨어진 모양을 상상하기란 쉬운 일이 아니다. 글로 달달달 외우기보다는 비연결의 정의 자체를 떠올리며 팩트로써 받아들이도록 하자.

[3]

αAα\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset 이라는 조건은 정확히 어떤 원소인지는 몰라도 적어도 한 점이 모두를 연결하고 있음을 의미한다. 여러 장의 헝겊을 못 하나로 꿰뚫어 벽에 박제해두는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다.

[4]

An(i=1n1Ai)\displaystyle A_{n} \cap \left( \bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i} \right) \ne \emptyset 이라는 조건은 부분공간들이 몇다리 건너서라도 연결되어 있음을 의미한다. 쇠사슬처럼 모든 고리가 연결되어 있는 건 아니지만 전체적으로는 이어져있는 이미지를 떠올리면 도움이 될 것이다. 정리 [3]의 주어진 집합이 가산 집합으로 제한이 생긴 대신 집합 자체의 조건이 완화된 걸로 받아들이면 된다.

참고로 정리 [3], [4]는 ‘연결‘을 ‘경로연결‘로 바꿔도 문제 없이 성립한다.

증명

[1]

Y\overline{Y} 가 비연결 공간이라고 가정하자.

XX 가 비연결 공간이면 이산공간 {a,b}\left\{ a, b \right\} 에 대해 전사인 연속함수 f:X{a,b}f : X \to \left\{ a, b \right\} 가 존재한다.

그러면 전사고 연속인 함수 f:Y{a,b}f : \overline{Y} \to \left\{ a, b \right\} 가 존재한다. 이 함수에서 정의역만 YY 로 제한시킨 fY:Y{a,b}f|_{Y} : Y \to \left\{ a, b \right\} 을 생각해보자.

연결 공간 XX 에 대해 f:XYf : X \to Y 가 전사 연속함수면 YY 는 연결 공간이다.

이산공간 {a,b}\left\{ a, b \right\} 는 연결 공간이 아니므로 대우법에 의해 YY 가 비연결 공간이거나 fYf|_{Y} 가 전사가 아니거나 연속이 아니어야한다. 그러나 전제에서 YY 는 연결 공간이고 fYf|_{Y} 는 여전히 연속이므로, fYf|_{Y} 는 전사가 아니어야한다.

[ff연속이면 모든 AXA \subset X 에 대해, f(A)f(A)f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) } ](../432)

f(Y)={a}f(Y) = \left\{ a \right\} 혹은 f(Y)={b}f(Y) = \left\{ b \right\} 인데 ff 가 연속이므로 f(Y)f(Y){a,b}f( \overline{Y}) \subset \overline{ f(Y) } \ne \left\{ a , b \right\} 다. 이는 ff 가 전사임에 모순이므로, Y\overline{Y} 가 연결 공간이어야한다.

한편 이에 따라 아래의 유용한 따름정리를 얻어낼 수 있다.

위상공간 XX 의 부분공간 YY 이 연결공간이면 YZYY \subset Z \subset \overline{Y} 를 만족하는 ZZ 는 연결공간이다.

[2]

()(\Rightarrow)

YY 는 비연결 공간이므로 AB=A \cap B = \emptysetAB=YA \cup B = Y 를 만족하는 YY 에서 공집합이 아닌 열린 공간 A,BA , B 가 존재한다. AABB 가 열린 공간이므로 UY=AVY=B U \cap Y =A \\ V \cap Y = B 를 만족하는 XX 에서 열린 공간 U,VU, V 가 존재한다. 따라서 UYVYUVY=(UY)(VY)=AB= U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = (U \cap Y) \cap (V \cap Y) = A \cap B = \emptyset 한편 Y=ABUVY = A \cup B \subset U \cup V 이다.


()(\Leftarrow)

UYVYUVY=YUV U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V 를 만족하는 XX 의 열린 집합 UUVV 가 존재한다고 하자. A:=UYB:=VY A := U \cap Y \\ B := V \cap Y 이라고 하면 A,BA, BYY 에서 공집합이 아닌 열린 집합이다. 한편 AB=(UY)(VY)=UVY=AB=(UY)(VY)=(UV)Y=Y A \cap B = (U \cap Y) \cap ( V \cap Y) = U \cap V \cap Y = \emptyset \\ A \cup B = (U \cap Y) \cup (V \cap Y) = ( U \cup V ) \cap Y = Y 따라서 YY 는 비연결 공간이다.

[3]

αAα\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset 이라 할 때 Y=αAαY = \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} 가 비연결 공간이라고 가정해보자. 정리 [2]에 의해 UYVYUVY=YUV U \cap Y \ne \emptyset \\ V \cap Y \ne \emptyset \\ U \cap V \cap Y = \emptyset \\ Y \subset U \cup V 를 만족하는 XX 의 열린 집합 UUVV 가 존재한다. 그러면 (UAα)(VAα)=(UV)Aα=Aα(UAα)(VAα)=(UV)Aα= (U \cap A_{\alpha} ) \cup (V \cap A_{\alpha} ) = (U \cup V) \cap A_{\alpha} = A_{\alpha} \\ (U \cap A_{\alpha} ) \cap (V \cap A_{\alpha} ) = ( U \cap V) \cap A_{\alpha} = \emptyset 이다. 하지만 AαA_{\alpha} 는 연결 공간이라고 가정했으므로 (UAα)(U \cap A_{\alpha} )(VAα)(V \cap A_{\alpha} ) 둘 중 하나는 공집합이어야한다. UUVV 든 상관 없으므로 그냥 (VAα)=(V \cap A_{\alpha} ) = \emptyset 이라고 해보자.임의의 AαA_{\alpha} 에 대해 (VAα)=(V \cap A_{\alpha} ) = \emptyset 이므로 VαAα= V \cap \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} = \emptyset 이다. 다시 깔끔하게 적으면 VY=V \cap Y = \emptyset 인데, 이는 가정에 모순이다.

[4]

자연수 n2n \le 2 에 대해 Bn:=i=1n1Ai\displaystyle B_{n} := \bigcup_{i = 1}^{n-1} A_{i} 라고 하자.

A1A_{1} 은 연결 공간이므로 B2B_{2} 역시 연결 공간이고, 수학적 귀납법에 의해 BnB_{n} 은 연결 공간이다. A2A1A1Bn1Bn \emptyset \ne A_{2} \cap A_{1} \subset A_{1} \subset B_{n-1} \subset B_{n} 이므로 n=2Bn \bigcap_{n=2}^{\infty} B_{n} \ne \emptyset 정리 [3] 에 의해 n=1An=n=2Bn\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n = 2}^{\infty} B_{n} 은 연결 공간이다.