📂집합론

함수의 원상

정의 ¹

함수 $f: X \to Y$ 와 $B \subset Y$ 에 대해 $f^{-1}(B): = \left\{ x \in X \ | \ f(x) \in B \right\}$ 를 $f$ 에 따른 $B$ 의 원상 혹은 역상이라 한다.

설명

표기는 비슷하지만 정의 자체만으로 역상과 역함수가 어떤 관계에 있다고 말할 수는 없으며, 이들을 혼동하지 않아야한다.

한국어로 말하기엔 역상이 자연스러운 반면 영어로는 [프리이미지]가 자연스럽게 느껴지는 사람이 있을 것이다. 이는 거스를 역逆이라는 한자가 단순히 ‘어디에서 왔는가’라는 역상의 개념에 잘 맞는 반면, 위에서 말한 것과 같이 [인버스]라는 말이 역함수를 연상시키기 때문에 의식적으로 사용하길 꺼리는 탓이다. 물론 그냥 [프리이미지]가 발음하기 편하니 자주 써서, 접두어로써 ‘원’이 생소하니 안써서 등의 단순한 이유도 있다.

기초 성질

• [1] 공집합: $$ f ( \emptyset ) = \emptyset $$
• [2] 홑원소 집합: $$ x \in X \implies f \left( \left\{ x \right\} \right) = \left\{ f(x) \right\} $$
• [3] 단조성: $$ A \subset B \subset X \implies f (A) \subset f(B) \\ C \subset D \subset Y \implies f^{-1} (C) \subset f^{-1} (D) \\ f(X) \subset Y \iff X \subset f^{-1} (Y) $$
• [4] 합집합: $$ f \left( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)= \bigcup_{\gamma \in \Gamma } f \left( A_{\gamma} \right) \\ f^{-1} \left( \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma } f^{-1} \left( A_{\gamma} \right) $$
• [5] 교집합: $$ f^{-1} \left( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)= \bigcup_{\gamma \in \Gamma } f^{-1} \left( A_{\gamma} \right) \\ f \left( \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right) {\color{red}\subset} \bigcap_{\gamma \in \Gamma } f \left( A_{\gamma} \right) $$
• [6] 차집합: $$ f (A) \setminus f (B) \subset f (A \setminus B) \\ f^{-1} (C) \setminus f^{-1}(D) = f^{-1} (C \setminus D) $$

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특히 [5], [6]에서 함수는 교집합을 그대로 보존할 수 없음에 주목하라. 등호를 만족시키려면 $f$ 가 단사여야한다.

대충 알아도 반복을 통해 익숙해질 수밖에 없는 전단사와 역함수의 개념과 달리 역상은 가능한 빠르고 정확하게 익힐 필요가 있다. 역상을 대강 알고 넘어가면 당장 선형대수학에서의 영공간에 대한 직관이 떨어지고, 그대로 발전이 없으면 추상대수까지 영향을 미친다. 함수의 상과는 다른 성질이 많기 때문에 그냥 반대겠지 하고 넘어갈 게 아니라 제대로 공부해서 확실히 알도록 하자.