📂위상수학

위상수학에서의 분리성질

정의 ¹

$X$ 를 위상공간이라고 하자. $a,b \in X$ 에 대해 $a \ne b$ 고 $U, V \subset X$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다.

0. $T_{0}$: 임의의 $a$ 와 $b$ 중 하나만 포함하는 $U$ 가 존재하면, $X$ 를 콜모고로프^kolmogorov 공간이라고 한다.
1. $T_{1}$: 임의의 $a,b$ 에 대해 $$ a \in U, b \notin U \\ a \notin V, b \in V $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면, $X$ 를 프레셰^frechet 공간이라고 한다.
2. $T_{2}$: 임의의 $a,b$ 에 대해 $$ a \in U, b \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면, $X$ 를 하우스도르프^hausdorff 공간이라고 한다.
3. $T_{3}$: $X$ 가 $T_{1}$-공간이면서 $a$ 를 포함하지 않는 모든 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해 $$ a \in U , C \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면 $X$ 를 정칙^regular 공간이라고 한다.
4. $T_{4}$: $X$ 가 $T_{1}$-공간이면서 $A \cap B = \emptyset$ 인 두 닫힌 집합 $A, B \subset X$ 에 대해 $$ A \subset U , B \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ 를 만족하는 $U,V$ 가 존재하면 $X$ 를 정규^normal 공간이라고 한다.

설명

분리공리^{separation Axiom} 로도 불리는 이 성질들은 말 그대로 공간을 부분으로 나누는 것에 대해 초점을 맞추고 있다. 위와 같이 $T_{i}$ 로 나타낸 분류를 콜모고로프 분류^{kolmogorov classification}라 한다. 정의를 딱 보면 $$ T_{4} \implies T_{3} \implies T_{2} \implies T_{1} \implies T_{0} $$ 이라는 느낌이 올 것이고, 실제로도 그래서 보기 좋은 분류법이다.

특히 자주 관심의 대상이 되는 것은 $T_{2}$ 하우스도르프 공간으로, 조건이 너무 많지도 적지도 않아 딱 쓸만한 수준이다. 반례로 자주 쓰이는 온갖 변태같은 공간들은 대개 $T_{2}$ 를 만족시키지 못하는 경우가 많다. 하우스도르프 공간이 아닌 공간의 예시로는 시어핀스키 공간과 여유한 공간이 있다.

다음은 하우스도르프 공간이 가지는 몇몇 유용한 성질들이다. 당장 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이므로 써먹을 구석이 많음은 말할 것도 없을 것이다.

정리

• [2-1]: $T_{2}$ 는 위상적 성질이다.
• [2-2]: $T_{2}$ 는 계승적 성질이다.
• [2-3]: [$T_{2}$-공간의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 은 수렴한다면 오직 하나의 점에 수렴한다.](../456)

증명

[2-1]

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 하우스도르프 공간이라고 하자. $Y$ 가 하우스도르프 공간임을 보이면 증명은 끝난다.

$f$ 는 전단사이므로 서로 다른 두 $y_{1}, y_{2} \in Y$ 에 대해 $$ a = f(x_{1}) \\ b = f(x_{2}) $$ 를 만족하면서 서로 다른 두 $x_{1}, x_{2} \in X$ 가 존재한다. 가정에서 $X$ 는 하우스도르프 공간이므로 $$ x_{1} \in U \\ x_{2} \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 집합 $U, V \subset X$ 가 존재한다. $f$ 는 연속성에 의해 열린 함수이므로 $f(U)$ 와 $f(V)$ 는 $Y$ 에서 열린 집합이고 $$ a \in f(U) \\ b \in f(V) \\ f(U) \cap f(V) = \emptyset $$ 따라서 $Y$ 는 하우스도르프 공간이다.

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