📂位相幾何学

位相数学における分離性質

定義 ¹

$X$ を 位相空間とする. $a,b \in X$ に対して $a \ne b$ かつ $U, V \subset X$ は $X$ の開集合である.

0. $T_{0}$: 任意の $a$ と $b$ のうち一方のみを含む $U$ が存在すれば, $X$ を コルモゴロフ^kolmogorov 空間という.
1. $T_{1}$: 任意の $a,b$ に対して $$ a \in U, b \notin U \\ a \notin V, b \in V $$ を満たす $U,V$ が存在すれば, $X$ を フレシェ^frechet 空間という.
2. $T_{2}$: 任意の $a,b$ に対して $$ a \in U, b \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ を満たす $U,V$ が存在すれば, $X$ を ハウスドルフ^hausdorff 空間という.
3. $T_{3}$: $X$ が $T_{1}$-空間でありかつ $a$ を含まない任意の閉集合 $C \subset X$ に対して $$ a \in U , C \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ を満たす $U,V$ が存在すれば $X$ を 正則^regular 空間という.
4. $T_{4}$: $X$ が $T_{1}$-空間でありかつ $A \cap B = \emptyset$ な二つの閉集合 $A, B \subset X$ に対して $$ A \subset U , B \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ を満たす $U,V$ が存在すれば $X$ を 正規^normal 空間という.

説明

分離公理^{separation Axiom} とも呼ばれるこれらの性質は, 文字通り空間を部分に分けることに焦点を当てている. 上に示したように $T_{i}$ で表した分類を コルモゴロフ分類^{kolmogorov classification}という. 定義を見れば $$ T_{4} \implies T_{3} \implies T_{2} \implies T_{1} \implies T_{0} $$ という感覚があり, 実際そうして見分けると分かりやすい分類法である.

特にしばしば注目されるのは $T_{2}$ ハウスドルフ空間であり, 条件が多すぎも少なすぎもしないちょうどよい程度である. 反例として使われる種々の奇妙な空間は大抵 $T_{2}$ を満たさないことが多い. ハウスドルフでない空間の例としては シェルピンスキー空間 と 余裕のある空間 がある.

以下はハウスドルフ空間が持ついくつかの有用な性質である. すべての距離空間はハウスドルフ空間であるため, 利用できる場面は多いのは言うまでもない.

定理

• [2-1]: $T_{2}$ は位相的不変量である.
• [2-2]: $T_{2}$ は継承的性質である.
• [2-3]: $T_{2}$-空間の列 ▷eq39◯ が収束するならばただ一つの点にしか収束しない.

証明

[2-1]

位相同型写像 $f : X \to Y$ が存在し, $X$ がハウスドルフ空間であるとする. $Y$ がハウスドルフ空間であることを示せば証明は終わる.

$f$ は 全単射 なので, 異なる二つの $y_{1}, y_{2} \in Y$ に対して $$ a = f(x_{1}) \\ b = f(x_{2}) $$ を満たす異なる二つの $x_{1}, x_{2} \in X$ が存在する. 仮定より $X$ はハウスドルフ空間なので $$ x_{1} \in U \\ x_{2} \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ を満たす開集合 $U, V \subset X$ が存在する. $f$ は 連続性により開写像 なので $f(U)$ と $f(V)$ は $Y$ で開集合であり $$ a \in f(U) \\ b \in f(V) \\ f(U) \cap f(V) = \emptyset $$ ゆえに $Y$ はハウスドルフ空間である.

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